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[obm-l] Re:[obm-l] Quadrados mágicos

Eu tenho a impressão de que a dimensão do espaço dos quadrados mágicos é n^2 - 2n + 1, pois, segundo o exercício 3.33 do Elon, os funcionais lineares de F^(2n) -> F:
L_1, L_2, ..., L_n, C_1, C_2, ..., C_(n-1), T e S
onde:
L_i = soma dos elementos da i-ésima linha;
C_j = soma dos elementos da j-ésima coluna;
T = traço;
S = soma dos elementos da diagonal secundária
são L.I. de modo que você perde apenas 2n-1 graus de liberdade.
 
Naturalmente, L_1 + L_2 + ... + L_n = C_1 + C_2 + ... + C_n = soma dos coeficientes da matriz, de modo que C_n é linearmente dependente dos demais.
Ainda estou pensando em como demonstrar a independência linear de T e S em relação aos L_i e aos C_j.
 
Também não consigo ver o que pode dar errado se F for finito.
Só tome cuidado com uma coisa: por exemplo, em (Z_3)^2, temos:
1*(1,2) + 1*(2,1) = (0,0), ou seja, (1,2) e (2,1) são L.D., o que parece ser uma contradição até você se lembrar que em, (Z_3)^2, 2*(1,2) = (2,1)
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 06 Apr 2005 00:35:30 +0000
Assunto: [obm-l] Quadrados mágicos
> Olá!
>
> Uma matriz n x n chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de
> cada uma de suas linhas, de cada coluna da diagonal principal e da outra
> diagonal (ao todo 2n + 2 somas) são iguais. Prove que, se n >= 3, o conjunto
> Q_n dos quadrados mágicos n x n é um subespaço vetorial de dimensão n^2 - 2n
> do espaço das matrizes n x n sobre o corpo dos reais, ou, se preferir, dos
> racionais (não sei se funciona para corpo finito).
>
> Na verdade, esse é um exercício essencialmente copiado do livro do Elon de
> Álgebra Linear, e eu resolvi postar aqui para curar as saudades que o
> pessoal sente da época em que foi apresentado ao quadrado "efetivamente"
> mágico 4 x 4 onde todas as casas são inteiros distintos variando de 1 a 16!
>
> []s,
> Daniel
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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