RE: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

["Rhilbert Rivera" <rhilbert1990@xxxxxxxxxxx>]

Essa já deve ter por aí na lista, mas só para constar...

Lembremos que (n + 1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1

Para n = 0, 1, 2, ...,n , temos
n = 0,  (0+1)^3 = 1^3     = 0^3 + 3.0^2 + 3.0 + 1
n = 1,  (1+1)^3 = 2^3     = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1
n = 2,  (2+1)^3 = 3^3     = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1
n = 3,  (3+1)^3 = 4^3     = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1
n = 4,  (4+1)^3 = 5^3     = 4^3 + 3.4^2 + 3.4 + 1
........................................................................
n = n,  (n+1)^3 = (n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1

Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, fica:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + 
3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).1

arrumando, vem:

(n + 1)^3 = 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).

Chamemos de S a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... +n^2 .
Admitindo conhecido que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2  e fazendo as 
substituições:

(n + 1)^3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1.

Isolando o termo S, etcetera e tal , obtemos a soma procurada

S=n*(n+1)*(2n+1)/6.

( ^_ ^)

_________________________________________________________________
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================