Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300, claudio.buffara wrote:
> Ontem alguém perguntou aqui na lista como se demonstrava a fórmula da soma
> dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.

Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração.

Na verdade este assunto já foi discutido várias vezes nesta lista
e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.

Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f também como
a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n) = f(n-1) + n^2.

É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato, considere a
seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f) se, sendo
g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) = dn^2 + en + f.
A transformação linear T é bem definida pois os termos de grau 3
se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1) = 0 para todo n
implica que g é constante logo, como não há termos constante em g,
temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo raciocínio
demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g satisfaz
g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau k+1.

Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) = 0, f(1) = 1,
f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
  a +  b +  c =  1
 8a + 4b + 2c =  5
27a + 9b + 3c = 14
e podemos facilmente achar a, b e c.

Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as raízes de f.
Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) = - (-1)^2 = -f(1),
f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n).
Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a terceira raiz.
Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria o valor de c,
mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3 donde c = 1/6.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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