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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Só complementando: f: R^3 -> R^3 não é uma bijeção. A bijeção é a restrição de f a U se restringirmos também o contradomínio a W.
Ou seja, usando a mesma letra pra representar a restrição de f a U:
f: U -> W é uma bijeção cuja inversa é g: W -> U dada por:
g(x,y,z) = (x+y+z,(y+z)/(x+y+z),z/(y+z))
Como as coordenadas de f(x,y,z) ( g(x,y,z) ) são polinômios (funções racionais) em x, y e z, e que os denominadores de g(x,y,z) não se anulam em W, é fácil ver que tanto f quanto g são infinitamente diferenciáveis.
Logo, f: U -> W é um difeomorfismo de classe C^infinito.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 30 Mar 2005 17:15:23 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo). |
> f(x,y,z) = (a,b,c) ==> (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
>
> Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
> x = a+b+c
> y = (b+c)/(a+b+c)
> z = c/(b+c)
>
> Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).
>
> Mas se nos restringirmos a U, teremos:
> xy <> 0 ==>
> x <> 0 e y <> 0 ==>
> a + b + c <> 0 e b + c <> 0 ==>
>
> Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c <> 0 e b + c <> 0}
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART) |
>
| Assunto: |
Re: [obm-l] análise (ou cálculo). |
> > Olá gente,
> >
> > consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
> > e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
> > Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
> > exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
> > f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
> > que f: U --> f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
> > estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
> > Podemos concluir que a inversa g: W --> R^3 é
> > diferenciável pelo "simples" fato de f: U --> W ser um
> > difeomorfismo???
> >
> > Sem mais, Éder.
> >
> > --- Lista OBM wrote:
> > > Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
> > >
> > > Seja f: R^3 --> R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
> > > -
> > > xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
> > > R^3 ; xy <> 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
> > > inversa
> > > g = f^(-1): W --> R^3 é diferenciável e calcule
> > > det[Jg(w)], w em W.
> > >
> > > Notação: " <> " é o mesmo que diferente;
> > > Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
> > >
> > > Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
> > > mesmo
> > > assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
> > > usando
> > > o teorema da aplicação inversa.
> > >
> > > Grato desde já, Éder.
> > >
> >