Re: : [obm-l] Geometria

[Paulo Cesar <pcesar26@xxxxxxxxx>]

Boa Tarde Brunno

Essa questão  foi do concurso do Colégio Naval em 99. Seu texto
original é o seguinte:
"O número de triângulos que podemos construir com lados medindo 5, 8 e
x, x pertencente aos Naturais não-nulos, de tal forma que o seu
ortocentro seja interno ao triângulo é:"

Vamos lá
Se o ortocentro pertence ao interior do triângulo, isso significa que
o mesmo é necessariamente acutângulo. (lembre-se que ortocentro é a
interseção das 3 alturas de um triângulo)

Pela síntese de Clairaut, temos que para a, b e c lados de um
triângulo acutângulo com "a" sendo o maior desses lados, então a^2 <
b^2 + c^2.

Primeiro, vamos supor que x >=8(maior ou igual a 8). Então x^2 < 8^2 +
5^2 --> x^2 < 89
As soluções da desiguladade acima para x Natural são x=9 e x=8.
Lembre-se que supomos x sendo o maior dos lados, o que permite que o
triângulo tenha lados 8, 8 e 5 e 9, 8 e 5.

Agoras vamos supor x < 8. Então 8^2 < 5^2 + x^2 --> x^2 > 39. A
solução é única, x=7, o que nos dá um triângulo de lados 8, 7 e 5.
Daí, podemos construir apenas três triângulos com as características
citadas no enunciado.
Gabarito: A

Abraços
Paulo Cesar

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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