Re: [obm-l] Principio das Gavetas

[Marcio M Rocha <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

claudio.buffara escreveu:

>  
> *De:* 	owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Para:* 	obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Cópia:* 	
>
> *Data:* 	Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300
>
> *Assunto:* 	[obm-l] Principio das Gavetas
>
> > Bom dia, pessoal!
> >
> > Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: "Mostre que
> > existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1"
> >
> > Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número
> > natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e
> > 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's.
> >
> > Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) *
> > (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1.
> >
> > Tá tudo Ok?
> >
> Pra mim, está.
>  
> Uma demonstração alternativa usa o teorema de Euler e leva em conta 
> que mdc(1997,10) = mdc(1997,9) = 1.
> Nesse caso, pondo k = Phi(1997), teremos 10^k == 1 (mod 1997) ==>
> 1997 | 10^k - 1 = 999....999  (k algarismos 9) = 9*111...111.
> Como 1997 é primo com 9, concluímos que 1997 | 111...111.
>  
>  
> > Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema
> > seguinte: "Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais
> > consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é
> > divisível por 11."
> >
> Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simulações 
> no Excel pra ver se você acha alguma periodicidade ou lei de formação. 
> Se eu achar alguma coisa te falo.
>  
> []s,
> Claudio.
>  

Cláudio,

Obrigado pela solução alternativa e pela dica.

[]s,

Márcio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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