RE: [obm-l] Tres Probleminhas

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio, obrigado pela ajuda em algebra!

> >3. Sabe-se que a probabilidade de dois inteiros
> tomados ao acaso serem
> >primos entre si eh igual a 6/Pi^2. Tomando 4
> inteiros a, b, c, d ao acaso 
> >(e
> >de forma independente) calcule a probabilidade de
> que mdc(a,b) = mdc(c,d).

seja p a probabilidade procurada. Dado n, a
probabilidade p_n de mdc(a,b)=n eh o produto das
probabilidades de n dividir a, n dividir b e
mdc(a/n,b/n)=1, ou seja, 
(1/n)(1/n)(6/Pi^2)=6/Pi^2/n^2.
Seja p_n a probabilidade de mdc(a,b)=n
Seja p_m a probabilidade de mdc(c,d)=m
os "eventos favoraveis" correspondem aos casos
em que n=m, entao a probabilidade p procurada eh:
=soma((p_n)(p_m),n=m de 1 a infinito)
=soma((p_n)^2,n=1..infinito)=
=soma((6/Pi^2/n^2)^2,n=1..infinito)=
=(6/Pi^2)^2*soma(1/n^4,n=1..infinito)=
=(36/Pi^4)*(Pi^4/90)=0,4
onde usei que soma(1/n^4,n=1..infinito)=Pi^4/90

Estou meio destreinado, mas acho que eh isto.

[]'s

Eric.


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