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RE: [obm-l] Tres Probleminhas

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 21 Mar 2005 14:00:02 -0500
Assunto: RE: [obm-l] Tres Probleminhas
> 1) ta meio complicado... uma pergunta: vale usar raiz, mas ai o indice da
> raiz conta?
>
Não se for raiz quadrada. Sim se for qualquer outra.
 
> 2) eu imagino que x->1- seja x infinitesimamente menor que 1
> vou rescrever a soma como
> S = x + (x^4 - x^2 ) + ( x^16 - x^8 ) + (x^64 - x^32) + ... = x + S' onde
> S' e a soma da PG com a1 = x^2(x^2-1) e q = x^4
 
Não é não. Refaça suas contas.
Por exemplo, a razão entre os dois primeiros termos é:
(x^16 - x^8)/(x^4 - x^2) = x^6*(x^4 + 1)(x^2 + 1) <> x^4
 
> logo S' = x^2(x^2-1)/(1-x^4) = (-1)x^2/(1+x^2) e
> S = x - x^2/(1+x^2)
> para x->1 acho que S -> 1/2
>
A resposta 1/2 é razoável (apesar de, no presente caso, ser pela razão errada) mas, mesmo assim, é incorreta.
 
Repare que se chamarmos a soma de S(x), então ela obedecerá a recorrência: S(x) = x - S(x^2), de modo que se o limite S existir, então teremos que S = 1 - S ==> S = 1/2.
 
Mas será que o limite existe?
 
> 3) ainda vou tentar
>
Uma dica pra esta: a resposta não envolve Pi.
 
 
[]s,
Claudio.
 
> >From: Claudio Buffara
> >
> >Pra quem nao tah fazendo nada neste fim de semana...
> >
> >1. Expressar o numero 19 usando uma unica vez cada um dos numeros 1, 2 e 3
> >e
> >mais as operacoes matematicas usuais (+, -, *, /, raizes, fatoriais, etc.).
> >Nao vale usar ponto decimal nem a funcao maior inteiro. (essa eh pro
> >Qwert!)
> >
> >2. Quanto vale lim(x -> 1-) (x - x^2 + x^4 - x^8 + x^16 - x^32 + ...) ?
> >
> >3. Sabe-se que a probabilidade de dois inteiros tomados ao acaso serem
> >primos entre si eh igual a 6/Pi^2. Tomando 4 inteiros a, b, c, d ao acaso
> >(e
> >de forma independente) calcule a probabilidade de que mdc(a,b) = mdc(c,d).
> >
> >[]s,
> >Claudio.
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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