Re: [obm-l] Geom. Analitica

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Bem, o Shine deixou uma resposta em seu artigo
"Geometria com Contas" da Eureka! 17.
veja:
http://www.obm.org.br/eureka/eureka17.pdf

--- Eric Campos <mathfire2001@yahoo.com.br> wrote:
> O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao
> usei geometria analitica, mas tambem nao tive ideia
> para usar projetiva... Alguem sabe resolver por
> projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver
> a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer!
> 
> > No quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BD
> > são perpendiculares e os lados opostos  AB e DC
> não
> > são paralelos. Suponha que o ponto P, onde as
> > mediatrizes de AB e DC se  encontram, é interior a
> > ABCD. Mostre que ABCD é um quadrilátero
> inscritível
> > se, e somente se os triângulos ABP e CDP têm áreas
> > iguais.
> 
> POSSIVEL SOLUCAO:
> 
> (Faca uma figura)
> 
> (=>) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem
> areas
> iguais.
> 
> prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto medio
> de
> CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro da
> circunferencia onde se inscreve ABCD e
> 
> angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB)
> angulo BPM = alfa (metade do angulo central do arco
> AB)
> angulo ADB = alfa (angulo inscrito)
> 
> angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC)
> angulo BAC = beta (idem)
> angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC)
> 
> angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC)
> angulo CPN = gama (metade do angulo central do arco
> DC)
> 
> Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero.
> Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos
> outros angulos sao alfa e gama. Entao:
> alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC,
> retangulo
> em N, tem-se:
> 
> angulo PCN = alfa
> 
> e no triangulo PBM, retangulo em M: 
> 
> angulo PBM = gama
> 
> logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois
> ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso,
> PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, logo,
> os triangulos PNC e BMP sao congruentes e portanto:
> 
> PN = BM e CN = PM
> 
> donde 
> 
>         BM.PM   =   PN.CN
> Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC
> como queriamos.
> 
> 
> (<=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh
> circuncritivel. 
> 
> prova. Suponha  que ABP e CDP tem areas iguais.
> Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde
> PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais e
> os
> triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas areas
> sao iguais, e portanto estes triangulos sao
> congruentes
> e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, 
> 
> PB=PC
> 
> mas como PM eh mediatriz, PB = PA
> como PN eh mediatriz PC = PD, logo,
> 
> PA = PB = PC = PD
> 
> e ABCD eh inscritivel...
> 
> 
> []'s
> 
> Eric
> 
> 
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