Re: [obm-l] Geom. Analitica

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao
usei geometria analitica, mas tambem nao tive ideia
para usar projetiva... Alguem sabe resolver por
projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver
a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer!

> No quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BD
> são perpendiculares e os lados opostos  AB e DC não
> são paralelos. Suponha que o ponto P, onde as
> mediatrizes de AB e DC se  encontram, é interior a
> ABCD. Mostre que ABCD é um quadrilátero inscritível
> se, e somente se os triângulos ABP e CDP têm áreas
> iguais.

POSSIVEL SOLUCAO:

(Faca uma figura)

(=>) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem areas
iguais.

prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto medio de
CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro da
circunferencia onde se inscreve ABCD e

angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB)
angulo BPM = alfa (metade do angulo central do arco
AB)
angulo ADB = alfa (angulo inscrito)

angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC)
angulo BAC = beta (idem)
angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC)

angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC)
angulo CPN = gama (metade do angulo central do arco
DC)

Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero.
Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos
outros angulos sao alfa e gama. Entao:
alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC, retangulo
em N, tem-se:

angulo PCN = alfa

e no triangulo PBM, retangulo em M: 

angulo PBM = gama

logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois
ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso,
PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, logo,
os triangulos PNC e BMP sao congruentes e portanto:

PN = BM e CN = PM

donde 

        BM.PM   =   PN.CN
Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC
como queriamos.


(<=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh
circuncritivel. 

prova. Suponha  que ABP e CDP tem areas iguais.
Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde
PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais e os
triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas areas
sao iguais, e portanto estes triangulos sao
congruentes
e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, 

PB=PC

mas como PM eh mediatriz, PB = PA
como PN eh mediatriz PC = PD, logo,

PA = PB = PC = PD

e ABCD eh inscritivel...


[]'s

Eric



	
	
		
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