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[obm-l] Re:[obm-l] ajuda com cálculo apostol

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 22 Mar 2005 11:40:18 -0300
Assunto: [obm-l] ajuda com cálculo apostol
> olá
>
> eu tava começando a ler o apostol e já me deparei com um teorema q não
> compreendi. é quanto ao método de exaustão de arquimedes.
> no livro diz:
>
> 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n^3/3 + n^2/2 + n/6
>
> e
>
> 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = n^3/3 - n^2/2 + n/6
>
> até aí tudo bem, mas como se deduz a partir disso que:
>
> 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 < n^3/3 < 1^2 + 2^2 + ... + n^2 ?
>
 
Em outras palavras, ele tah dizendo que:
n^3/3 - n^2/2 + n/6 < n^3/3 < n^3/3 + n^2/2 + n/6
 
A segunda desigualdade é óbvia, pois n^2/2 + n/6 > 0.
A primeira decorre do fato de que n^2/2 - n/6 > 0 para todo n inteiro, e esta quantidade está sendo subtraída de n^3/3.
 
 
> depois também ele diz que
>
> b^3/3 - b^3/n < A < b^3/3 + b^3/n
>
> daí A > b^3/3, A = b^3/3, ou A < b^3/3
>
> ate aí tranquilo, mas eu não entendi a prova de que a inequação ocorre
> se, e somente se, A = b^3/3. se alguem puder me explicar um pouco mais
> detalhado/simples q o livro, eu agradeço!
>
 
As expressões nas extremidades são, respectivamente, uma sequência crescente e uma sequência decrescente (em função de n), ambas com limite igual a b^3/3.
Isso quer dizer, que, a menos que A seja exatamente igual a b^3/3, vai existir algum n a partir do qual uma das desigualdades será falsa.
 
[]s,
Claudio.