Re: [obm-l] Re: [obm-l] Proposição

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 17, 2005 at 01:21:57PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> Ola carissimo Prof Nicolau e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema 
> abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que 
> os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos 
> matematicos de entao.
> 
> Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a 
> uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que 
> esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes 
> topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel.

Eu já ouvi várias vezes afirmações como esta e eu não sei exatamente
como interpretar. Há pelo menos três interpretações: de acordo com
a primeira, é trivialmente verdadeira; de acordo com a segunda,
é falsa; de acordo com a terceira, esta é uma opinião defensável.

Se listarmos os axiomas para os números reais, sempre existe um axioma
de natureza não algébrica, geralmente chamado o axioma do supremo.
A primeira interpretação diz que este axioma é necessário para demonstrar
o TFA. É verdade e é trivial: o conjunto Q dos racionais satisfaz os outros
axiomas usuais dos reais mas Q[i] não é algebricamente fechado.

A segunda interpretação aceita o que dissemos acima, mas diz que 
a prova é *inevitavelmente* de caráter muito mais topológico ou analítico
do que algebrico, ou que a prova usa *inevitavelmente* topologia ou
análise muito mais avançadas do que o axioma do supremo.
Isto é falso: Gauss mesmo deu uma prova do TFA que pode ser traduzida
em linguagem moderna como abaixo.

  Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades:
  (a) Todo elemento positivo de K tem raiz quadrada em K;
  (b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K tem raiz em K.
  Então K[i] é algebricamente fechado.

Este é um teorema puramente algébrico, tanto no enunciado quanto na
demonstração. As propriedades (a) e (b) para K = R podem ser consideradas
axiomas (não tão usuais) de caráter algébrico. Sob outro ponto de vista,
podemos demonstrar (a) e (b) a partir dos axiomas usuais, e a coisa
mais sofisticada que aparece é o Teorema do Valor Intermediário.

A terceira interpretação diz que as provas mais interessantes do TFA
são de natureza topológica ou analítica. Ou seja, quem diz isso não
gosta particularmente da trilha proposta acima. Esta é uma opinião
defensável: as provas topológicas ou analíticas são, de acordo com
a opinião da maioria dos matemáticos, bastante interessantes.
Elas são também mais conhecidas do que a prova "algébrica".

Claro que podem existir ainda outras interpretações, mas eu não sei
quais seriam.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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