Re: [obm-l] Proposi��o

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 17, 2005 at 08:21:07AM -0300, cfgauss77 wrote:
>   Um aluno me fez a seguinte pergunta, a qual acredito que n�o esteja bem
>   elaborada por mas que eu tenha compreendido o que ele queria perguntar:
> 
>   "Toda equa��o tem solu��o".
> 
>  Acredito que sua d�vida seja a de que toda senten�a aberta ou fechada tem
>  alguma solu��o em um campo pr�-definido.  N�o sei ao certo se ficou bem
>  formulado o questinamento, gostaria da opini�o dos colegas a respeito desta
>  indaga��o, se � que tem alguma fundamenta��o da forma que foi feita.
>  Desculpe se n�o fui capaz de expor com exatid�o!!! 

Da forma como foi enunciado realmente n�o faz muito sentido.
Considere a equa��o:

 x = x + 1

Ela n�o tem solu��o em nenhum contexto no qual possamos cortar
os x dos dois lados e chegar em 0 = 1. Em *algum* contexto, ela
tem solu��o sim: em C U {infinito} definimos
z + infinito = infinito + z = infinito para todo z complexo.
Em particular, infinito = infinito + 1 e x = infinito � uma solu��o.
Mas eu considero este tipo de vale-tudo uma apela��o muito pouco
interessante.

Uma afirma��o relacionada muito interessante � o teorema fundamental
da �lgebra: toda equa��o polinomial n�o trivial tem raiz complexa.
Mais precisamente,

 x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

pode n�o ter raiz real, mas sempre tem ra�zes complexas
se os coeficientes a_j forem reais ou complexos.

Ali�s, "campo" provavelmente � uma tradu��o n�o usual de "field".
O termo usual e correto no nosso idioma � *corpo*.

[]s, N.



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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