Re: [obm-l] Proposição

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.03.05 21:25, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu:
> "A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto
> final atado a uma estrutura lógica."
> 
Esta deve ser uma das razoes pelas quais dizem que o principio da inducao
matematica nao serve para descobrir teoremas, mas apenas para prova-los.
Isso talvez ocorra justaente porque ele eh um axioma atado a estrutura
logica que define e descreve os numeros naturais (e, por conseguinte, todos
os outros numeros).
Apesar disso, em alguns casos, a passagem de n para n+1 requer bastante
criatividade, ou seja, alguma inovacao que nao estah contida (pelo menos nao
explicitamente) no encadeamento logico da teoria dos numeros naturais.

> E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do
> Rudin "Principles of mathematical analysis" tem uma prova curtinha e não
> muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do
> livro.
>
Eu continuo achando que pelo menos tao importante quanto conhecer a
demonstracao rigorosa de algum teorema, eh conhecer a intuicao por tras
dela. No caso desse ai, eu acho muito instrutivo ver o que acontece com a
imagem da circunferencia |z| = R por um dado polinomio em C[z] quando R
varia de 0 a um valor muito grande, de modo que a imagem varia de um ponto
no plano complexo a algo muito proximo da circunferencia |z| = R^n, onde n
eh o grau do polinomio. Em algum instante, esta imagem vai passar pela
origem e isso significa que o polinomio tem alguma raiz.

> Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial
> das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço
> das seqüências formadas por 0 e 1?
>
Imagino que este ultimo possa ser visto como um espaco vetorial sobre Z_2.
Como o conjunto destas sequencias eh nao enumeravel, uma base desse espaco
tem que ser nao-enumeravel.

O primeiro espaco eh isomorfo ao espaco vetorial real das funcoes de N em R.
Se nao me engano, o conjunto de tais funcoes tem a mesma cardinalidade de R.
Assim, serah que ele nao possui base enumeravel? Eu nao tenho certeza.
 
Um outro exemplo de espaco com base nao enumeravel eh o espaco vetorial dos
reais sobre os racionais. Dah pra provar que embora ele proprio nao seja uma
base, o conjunto de Cantor contem uma tal base.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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