Re: [obm-l] ajuda(sequência)

[cleber vieira <vieira_usp@xxxxxxxxxxxx>]

Valeu Cláudio, com um pouco de indução e algumas contas você prova que a sequência é decrescente a_n+1 < a_n para todo n , a_n > 1,  1 < a_n < 3, e que para n tendendo a infinito o lim a_n  = 1.  Assim,   lim P_n = sqrt 3.Muito obrigado.

 

 

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

A recorrencia eh:
a_(n+1) = (3(a_n)^2 + 4a_n - 3)/(4(a_n)^2) ==>
a_(n+1) = 3/4 + (4a_n - 3)/(4(a_n)^2) ==>
(4a_(n+1) - 3)/4 = (4a_n - 3)/(4(a_n)^2) ==>
4a_(n+1) - 3 = (4a_n - 3)/(a_n)^2   

Ou seja:
4a_2 - 3 = (4a_1 - 3)/(a_1)^2
4a_3 - 3 = (4a_2 - 3)/(a_2)^2
...
4a_(n+1) - 3 = (4a_n - 3)/(a_n)^2

Multiplicando estas n equacoes e simplificando telescopicamente, obtemos:
4a_(n+1) - 3 = (4a_1 - 3)/(P_n)^2
onde:
P_n = a_1*a_2*...*a_n.

Ou seja:
(P_n)^2 = (4a_1 - 3)/(4a_(n+1) - 3).

Agora eh soh provar que, se a_1 >= 3/4 entao:
i) os a_i sao positivos;
e
ii) a_(n+1) -> 0 quando n -> infinito
que teremos:
P_n -> raiz(4a_1 - 3)

[]s,
Claudio.

on 10.03.05 14:16, cleber vieira at vieira_usp@yahoo.com.br wrote:

cleber vieira <vieira_usp@yahoo.com.br> wrote:

Amigos, gostaria da ajuda de vocês neste problema que na verdade é dividido em três itens, entretanto, os outros dois já foram solucionados e este ainda não consegui resolver.Desde ja muito obrigado.

Os números a_1, a_2 , a_3,... são definidos como segue:

a_1 = 3/2  e
a_(n+1) = [3(a_n)^2 + 4(a_n) - 3]/ 4(a_n)^2.


Determine  lim (a_1)*(a_2)*(a_3)***(a_n)
com n tendendo a infinito.
Ass:Vieira

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