[obm-l] RES: [obm-l] Equação 2º Grau [EM INGLÊS]

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

	Ok, acho que tenho uma solução para o antigo caso "coeficiente de x^2 =1" -- dá para fazer 4 iterações do processo, com 5 quadráticas, mas é impossível fazer 5 iterações e escrever 6 quadráticas. Confiram por favor!

	Suponha por absurdo que exista uma cadeia com 6 equações quadráticas, numeradas de (1) a (6). Sejam a e b os coeficientes da penúltima (5), e, portanto, as raízes da antepenúltima (4). Trabalhando de trás para a frente, a equação (n) tem como coeficientes "menos a soma dos coeficientes da equação (n+1)" e "o produto dos coeficientes da Eq. (n+1)". Ficamos então com a seguinte cadeia de quadráticas:

(6) Nem vou escrever pois não me interessa
(5) x^2+ax+b=0						Condição para raízes reais: a^2-4b > 0
(4) x^2-(a+b)x+ab=0					Raízes: a < b
(3) x^2+(a+b-ab)x-(a+b)ab=0				Raízes: -(a+b) < ab
(2) x^2-(a+b-ab-(a+b)ab)x-(a+b-ab)(a+b)ab=0	Raízes: a+b-ab < -(a+b)ab
(1) Não me interessa escrever				Raízes: -a-b+ab+(a+b)ab < -(a+b-ab)(a+b)ab

O negócio é provar que as 5 condições expressas à direita são incompatíveis! Argh!

Bom, em primeiro, reescrevo as desigualdades para me ajudar:

a < b < a^2/4					(D1 e D2)
(a+1)(b+1) > 1					(D3)
(ab+1)(a+b-1) < -1 				(D4)
-a-b+ab-(-a-b)ab < -(-a-b+ab)(-a-b)ab	(D5)

Desenhe (D1) (semi-plano), (D2) (parábola) e (D3) (hipérbole cujas assíntotas são a=-1 e b=-1) no plano ab. Note que há apenas duas regiões onde estas 3 condições são satisfeitas -- uma limitada por hipérbole (D3) e reta (D1) no 3o quadrante e outra limitada por parábola (D2) e reta (D1) no primeiro. É possível provar que há apenas estas 2 regiões algebricamente, mas é um porre, e a figura é bem clara... Bom, continuo usando esta figura:

CASO 1: Região do 3o quadrante contida em a < b < -1
Neste caso, D5 vai dar pau: escreva -a=c e -b=d para facilitar a álgebra. Então 1<d<c e a última condição vira:
c+d+cd-(c+d)cd < -(c+d+cd)(c+d)cd
c+d+cd+(c+d+cd)(c+d)cd < (c+d)cd
que é absurdo pois (c+d+cd)>1 e c,d são positivos.
 
CASO 2: Região do 1o quadrante onde 0 < a < b < a^2/4
Agora, D4 é que fura. Como a < a^2/4, temos a>4, isto é, 4<a<b<a^2/4. Mas então:
(ab+1)(a+b-1)>(16+1)(8-1)>-1, de longe!

Enfim, para encontrar uma cadeia com 5 quadráticas, escolho um ponto na minha figura que não tenha problemas com (D4)... Acho que qualquer coisa naquela regiãozinha do 3o quadrante no caso 1 serve... A hipérbole encontra a reta em (-2,-2), então escolho a=-3 e b=-2 e construo a seqüência abaixo:

(1) x^2-19x-330=0		Raízes: -11 < 30
(2) x^2-11x+ 30=0		Raízes: -6 < 5
(3) x^2- 6x+  5=0		Raízes: -3 < -2
(4) x^2- 3x-  2=0		Raízes: r=(3-raiz(17))/2 < (3+raiz(17)/2)=s
(5) x^2- rx+  s=0

Que tal?

Deixo a cargo do leitor a tentativa de adaptar isto tudo para o caso em que o coeficiente de x^2 não é 1... :) :) :)

Abraço,
	Ralph

---///---

Esse jah apareceu na lista, mas com a = 1, ou seja, a equacao eh sempre
monica, e a iteracao continua enquanto as raizes forem reais. Nunca foi
demonstrado mas conjectura-se que o maior numero de iteracoes eh 3.

on 10.03.05 14:34, Daniel S. Braz at dsbraz@gmail.com wrote:

> Pessoal...
> 
> Mais um problema..alguma dica ?
> 
> A student is practising the solution of the quadratic equation
> ax^2 + bx + c = 0.
> Solving one equation and checking that there were two roots, the
> student then made another equation by replacing c with the largest
> root and b with the smaller root. Prove that this operation cannot
> continue indefinitely. What is the maximum number of equations the
> student may have to solve?
> 
> obrigado!
> 
> []s
> daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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