Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]

[Bruno Bruno <brunobbruno@xxxxxxxxx>]

What is the largest x for which 4^27 + 4^1000 + 4^x equals the square
> of a whole number?

4^27 + 4^1000 + 4^x = n^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
temos entao dois quadrados perfeitos, onde 4^x = 2ab e onde 4^x = b^2
como queremos o maior x, 4^x = b^2

a^2 + 2ab + b^2 = 4^27 + 4^1000 + 4^x = (2^27 + 2^x)^2

2ab = 4^1000 = 2^2000 = 2*2^27*2^x = 2^(28+x)
2000 = 28+x   -----> x = 1972

On Thu, 10 Mar 2005 17:13:14 -0300, Domingos Jr. <dopikas@uol.com.br> wrote:
> Daniel S. Braz wrote:
> 
> >Pessoal,
> >
> >Alguém poderia me dar uma dica na resolução desses aqui?
> >
> >1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
> >to the following rule: (a, b, c, d)  (ab, bc, cd, da).
> >Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
> >never appear again, except when a = b = c = d = 1.
> >
> >
> suponha, sem perda de generalidade, que b > 1.
> temos que ab > a e bc > b, agora observe que uma coordenada nunca pode
> diminuir, pois ela é sempre multiplicada por um termo >= 1, então (a, b,
> c, d) nunca mais pode aparecer na seqüência.
> 
> >2)Take a series of the numbers 1 and (-1) with a length
> >of 2k (k is natural). The next set is made by multiplying
> >each number by the next one; the last is multiplied by the
> >first. Prove that eventually the set will contain only ones.
> >
> >
> Tenho uma solução legal pra este...
> Considere Z_2 = Z / (2Z), ou seja os inteiros módulo 2. Observe que {1,
> -1} com a operação de multiplicação é basicamente igual a {0, 1} com a
> operação de soma (tecnicamente falando, temos um isomorfismo levando 1
> -> 0 e -1 -> 1). Observe:
> 1*1 = 1  [0 + 0 = 0]
> 1*(-1) = -1 [0 + 1 = 1]
> (-1)*(-1) = 0 [1 + 1 = 0]
> 
> Ok, agora a parte interessante. Seja m = 2^k e considere o anel
>  R = Z_2[x] / <x^m + 1>
> 
> A aritmetica desse anel é bem favorável ao que pretendemos fazer, basta
> observar que dado um polinômio p em R
> p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_{m-1} x^{m-1}, a multiplicação de p por x
> resulta em
> x p(x) = a_0 x + ... + a_{m-2} x^{m-1} + a_{m-1} (x^m + 1) + a_{m-1},
> mas como x^m + 1 = 0 neste anel, temos
> x p(x) = a_{m-1} + a_0x + ... + a_{m-2} x^{m-1}
> 
> Então, (x + 1)p(x) = (a_0 + a_{m-1}) + (a_1 + a_2)x + ... + (a_{m-2} +
> a_{m-1})x^{m-1}
> 
> Note que esses coeficientes são definidos de forma isomorfa ao enunciado
> do problema! Então, nesse nosso anel, queremos mostrar que repetindo o
> processo, chegaremos no polinômio identicamente nulo! Isso quer dizer
> que (x+1)^r p(x) = 0 para algum r...
> 
> Como os coeficientes estão em Z_2, (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = x^2 + 1,
> sendo assim,
> (x+1)^4 = [(x+1)^2]^2 = [x^2 + 1]^2 = x^4 + 2x^2 + 1 = x^4 + 1 e, por
> indução, segue
> (x+1)^{2^s} = x^{2^s} + 1 para todo s >= 0, em particular,
> 
> (x+1)^m p(x) = (x^m + 1) p(x) = 0 p(x) = 0.
> 
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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