Re: [obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - anális e complexa

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, talvez dê para fazer na força-bruta:

Seja g(z) = [f(z*)]*, na sua notação (z* = conjugado complexo de z)

g(z + h) - g(z) = [f(z* + h*) - f(z*)]* (usando que (a+b)* = a* + b*)
Agora, usando a propriedade da derivada de f(z + h) = f(z) + f'(z)h + r(h),
com |r(h)|->0 para |h|->0, teremos que
g(z + h) - g(z) = [f(z*) + f'(z*)h* + r(h*) - f(z*)]*.
Note que |r(h*)|->0 quando |h|->0, pois |h|->0 <=> |h*|->0 (já que são
exatamente a mesma coisa, |h| = |h*|)
Fazendo de novo as contas, teremos:
g(z + h) - g(z) = [f'(z*)h* + r(h*)]* = [f'(z*)h*]* + [r(h*)]* =
[f'(z*)]*(h) + [r(h*)]*
Assim, temos que
g(z + h) - g(z) = [f'(z*)h* + r(h*)]* = [f'(z*)h*]* + [r(h*)]* =
[f'(z*)]*(h) + [r(h*)]*

Agora, note que temos
g(z + h) = g(z) + [f'(z*)]*(h) + [r(h*)]*
Ora, [f'(z*)]* é um número complexo (e corresponde bem à nossa
intuição, já que ele é a g'(z), faz sentido ter esta forma, certo?),
que aparece multiplicando h (e não h*, ISSO É IMPORTANTE) Além disso,
temos uma certa função s(h) = [r(h*)]* que satisfaz lim |s(h)| = 0,
para |h|-> 0, logo o número complexo [f'(z*)]* é a derivada, no
sentido complexo, de g(z)  no ponto z.

Note que o ponto crucial da demonstração é você usar a fórmula
completa da derivada, sem ser o "caso limite", o que dá mais
facilidade para manipulação (o que não quer dizer que é impossível
você fazer só com manipulações dentro dos limites, mas eu acho bem
mais fácil!)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Tue, 08 Mar 2005 01:16:04 -0300, Fabio Niski <fniski@terra.com.br> wrote:
> Mas eu falei pra nao usar as eq. de Cauchy-Riemann
> Pedro Antonio Santoro Salomao wrote:
> 
> > Escreva f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i.v(x,y) onde u e v satisfazem as equações
> > de Cauchy-Riemann, por hipótese.
> >
> > Então g(z) = g(x,y) = u(x,-y) - i.v(x,-y) deve também satisfazer as eq. de
> > Cauchy-Riemann.
> >
> > Um abraço. Pedro.
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
> > de Fabio Niski
> > Enviada em: Monday, March 07, 2005 7:00 PM
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] holomorfismos - análise complexa
> >
> > Pessoal, ainda sem usar as equacoes de Cauchy-Riemman
> > como eu posso provar isso
> >
> > Notacao:
> > 1) z* lê-se "conjugado de z"
> > 2) H(U) conjunto de todas funcoes holomorfas em U
> >
> > "Seja U um aberto nao vazio de C tal que U é simetrico em relacao ao
> > eixo real (i.e, z pert U => z* pert U). Mostre que se f pert H(U) entao
> > a funcao g: U -> C definida por g(z) := [f(z*)]*, qq z pert U, é
> > holomorfa em U."
> >
> > Tudo o que eu sei é a definicao de derivabilidade complexa, H(U) é uma
> > sub-C-Algebra de C(U) e a regra da cadeia.
> >
> > A priori tentei usar a regra da cadeia mas me lembrei que a funcao
> > conjugacao não é holomorfa, depois tentei pela definicao de derivacao
> > complexa mas nao saiu.
> >
> > Alguem tem alguma solucao?
> >
> > Obrigado
> >
> > Niski
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