Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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carlos gomes escreveu:
| Algum colega pode me ajudar com essa:
|
| Suponha que x, y, z e w são números reais tais que:
|
| senx+seny+senz+senw=0
| cosx+cosy+cosz+cosw=0
|
| Mostre que :
|
| (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0
| [...]

Definição: S_r = {v | |v| = r} e B_r = {v | |v| <= r} (ou seja, S_r e
B_r são a circunferência e a bola fechada de raio r.

Lema: Todos os vetores de B_2\{0} se escrevem unicamente (a menos da
ordem dos elementos) como soma de dois elementos de S_1.

Demonstração: Pela lei dos cossenos, se u e v estão em S_1 e fazem um
ângulo de x, então |u+v| = sqrt(2 + 2cos x), que é uma bijeção do
intervalo [0, pi) no intervalo (0, 2]. Aplicando uma rotação conveniente
a u e v, podemos fazer u e v assumir qualquer vetor de S_{sqrt(2 + 2cos
x)}. Logo o lema está demonstrado.

Considere 4 vetores a, b, c e d em S_1, tais que a+b+c+d = 0. (note que
os argumentos desses vetores satisfazem as hipóteses do enunciado, já
que as coordenadas dos vetores podem ser expressas como (sen x, cos x) e
assim sucessivamente).

Então, a+b = -(c+d). Mas (-c) + (-d) = -(c+d) = a + b, logo, pelo lema,
podemos supor s.p.d.g. que a = -c e, analogamente, b = -d. Logo, se x,
y, z, w são os argumentos de a, b, c e d, temos que sen x = -sen z, cos
x = -cos z, sen y = -sen w e cos y = -cos w, e segue trivialmente que

(sen x)^2003 + (sen y)^2003 + (sen z)^2003 + (sen w)^2003 =
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 - (sen x)^2003 - (sen y)^2003 = 0.

(A demonstração acima tem um pequeno erro que não afeta a
afirmação-chave do problema, mas que precisa ser corrigido. Qual?)

[]s,

- --
Fábio Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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