Re: [obm-l] Zeros na expansão da função exponencial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 03, 2005 at 03:10:42PM -0300, Demetrio Freitas wrote:
> 
> A função exponencial y = exp(x) não possui zeros, nem
> reais e nem complexos. Porém as suas representações
> polinomiais, como a série de maclaurin, tem infinitos
> zeros. Isto me parece um tanto confuso.  
> 
> Por exemplo, no caso das funções trigonométricas, os
> zeros do polinômio de taylor tem muito significado:
> são realmente os zeros da função original. Este fato
> foi inclusive utilizado por Euler na sua demonstração
> da soma dos inversos dos quadrados dos inteiros. O
> mesmo vale para os zeros imaginários das funções
> hiperbólicas. Mas, no caso de exp(x) não vejo como
> explicar a existencia de zeros na expansão...  
> 
> Assim pergunto: será que esta dúvida é pertinente? E o
> que significam estes "zeros falsos" da função
> exponencial expandida?

Antes de mais nada: não é verdade que os zeros da expansão
de Taylor da funcão seno sejam exatamente os zeros da funcão seno.
E seria esperar demais que eles fossem. O que é verdade é que
se tomarmos, por exemplo, x_n como sendo a menor raiz real
estritamente positiva da aproximacão de grau n da funcão seno
então temos lim_{n -> infinito} x_n = pi. Ora, no caso da exponencial
o que ocorre é que os zeros vão se afastando da origem assim
qualquer sequencia de zeros que tomarmos tenderá para infinito.
Isto é bem coerente com o fato da exponencial não ter zeros, não?

De qualquer maneira, este assunto é muito estudado e não sou especialista.
Mas espero ter ajudado.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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