RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Podemos generalizar esta conclusao, certo? Para todo inteiro positivo k que
nao seja uma potencia inteira de 10, dada qualquer sequencia de algarismos,
existe um inteiro positivo n  tal que k^n comeca com esta sequencia.
Decorrencia do fato de que log(k)/log(10) eh irracional.
Podemos ateh generalizar mais. Se estivermos numa base de numeracao b >1,
entao, para todo inteiro positivo k que nao seja uma potencia inteira de b,
dada qualquer sequencia de alagarismos menores que b, existe um inteiro
positivo n tal que, quando expresso na base b, k^n comecae com a dada
sequencia. Decorencia do fato de que log(k)/log(b) eh irracional.
Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: Friday, January 28, 2005 3:42 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n


On Fri, Jan 28, 2005 at 12:14:26PM -0300, Chicao Valadares wrote:
> >Jah foi provado, aqui na lista, que dada uma
> > sequencia qualquer de
> > algarismos, existe uma potencia de 2 que comeca com
> > esta sequencia.
> > Essa eh uma aplicacao bem legal do principio das
> > casas de pombos.
> 
> Mais uma vez alguem sabe qual a msg no qual isso foi
> provado??Caso contrario alguem poderia provar isso
> para mim^???
> 

Eh bem facil provar que a = log(2)/log(10) eh irracional.
Segue dai que para qualquer intervalo nao vazio e nao degenerado I
existem n e m inteiros tais que n + am pertence a I.
Dado um inteiro positivo N, seja I = (log(N)/log(10), log(N+1)/log(10)).
Se n + am pertence a I segue que 2^m comeca com os algarismos de N.

Abracos, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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