RES: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na realidade, esta prova nao se limita a n=2, mas vale para qualquer inteiro
n>=2 que nao seja potencia de 10, certo? Isto porque, neste caso, log(n) eh
irracional.
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Claudio Buffara
Enviada em: Monday, January 24, 2005 5:53 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Algarismo inicial de 2^n


on 24.01.05 16:07, Chicao Valadares at chicaovaladares@yahoo.com.br wrote:

>> Jah foi provado, aqui na lista, que dada uma
>> sequencia qualquer de
>> algarismos, existe uma potencia de 2 que comeca com
>> esta sequencia.
>> Essa eh uma aplicacao bem legal do principio das
>> casas de pombos.
> 
> Serio?? qual o subject porque eu nao achei???
> 
> 
Seja A a sequencia de algarismos.

Temos que provar que existem inteiros positivos m e n tais que:
A*10^m <= 2^n < (A+1)*10^m ==>
m + log(A) <= n*log(2) < m + log(A+1) ==>
log(A) <= -m + n*log(2) < log(A+1)

Mas log(2) eh irracional (por que?) e, portanto, o conjunto dos numeros da
forma (-m + n*log(2)) com m, n inteiros positivos eh denso em R (isso jah
foi provado na lista, com certeza!). Logo, existem inteiros positivos M e N
tais que log(A) <= -M + N*log(2) < log(A+1) ==> A*10^m <= 2^N < (A+1)*10^m
==> 2^N comeca com A.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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