Não sou especialista, na realidade conheço muito pouco sobre o assunto, mas a sua argumentação me pareceu bastante coerente.
Espero que alguém mais experiente possa conferir realmente sua dedução.
[]'s
---------- Início da mensagem original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Wed, 26 Jan 2005 19:10:26 -0200
Assunto: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
> Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira. Seja S um espaco metrico
> separavel e localmente compacto. Por ser separavel, S contem um conjunto D
> que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos elementos de D. A
> cada x_n associemos, baseados na compacticidade local de S, uma vizinhanca
> B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso implica que {B_n}
> seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por sua vez, implica que
> {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por conjuntos compactos.
> Seja F um conjunto fechado de S. Entao, a colecao {B'_n inter F} eh
> enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos compactos, pois
> a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh compacta. A
> conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh dado por uma
> uniao enumeravel de conjuntos compactos.
> Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos compactos, enato a
> definicao de sigma-algebra implica que M contem a colecao dos fechados de S
> e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois esta ultima eh tambem
> gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado a sigma-algebra de
> Borel contem a colecao dos compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a
> colecao dos compactos, a dos abertos e a dos fechados, todas geram a mesma
> sigma-algebra de Borel.
> Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser extendido a espacos de
> Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao
> implica a existencia de base topologica enumeravel. Mas se o espaco for
> Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a conclusao eh preservada.
> Este raciocinio esta OK?
> Artur
>
>
> Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> alencar1980
> Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM
> Para: obm-l
> Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
>
>
>
> Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html
> a igualdade da
> sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem
> quando "the topological space is a locally compact separable metric
> space".
> E não apenas na reta.
>
> O texto do site é:
>
> "In general topological spaces, even locally compact ones, the two
> structures are different. They are however identical whenever the
> topological space is a locally compact separable metric space."
>
> .yahoo.com/messenger/
>
>