Re:[obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Bruno Lima <bbslima@xxxxxxxxxxxx>]

 Eu entendo pouco de topologia, mas assino em baixo.
Ficou bom. Parabens.


--- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
escreveu: 
> Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira.
> Seja S um espaco metrico
> separavel e localmente compacto.  Por ser separavel,
> S contem um conjunto D
> que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao
> dos elementos de D. A
> cada x_n associemos, baseados na compacticidade
> local de S, uma vizinhanca
> B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser
> denso implica que  {B_n}
> seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por
> sua vez, implica que
> {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta
> por conjuntos compactos.
>  Seja F um conjunto fechado de  S. Entao, a colecao
> {B'_n inter F} eh
> enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por
> conjuntos compactos, pois
> a interseccao de um conjunto compacto com um fechado
> eh compacta. A
> conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado
> de S eh dado por uma
> uniao enumeravel de conjuntos compactos.
> Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus
> conjuntos compactos, enato a
> definicao de sigma-algebra implica que M contem a
> colecao dos fechados de S
> e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois
> esta ultima eh tambem
> gerada pelos conjuntos fechados  S. . Por outro lado
> a sigma-algebra de
> Borel contem a colecao dos compactos, pois todo
> compacto eh fechado. Assim a
> colecao dos compactos, a dos abertos e a dos
> fechados, todas geram a mesma
> sigma-algebra de Borel.
> Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser
> extendido a espacos de
> Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao
> metricos, separabilidade nao
> implica a existencia de base topologica enumeravel.
> Mas se o espaco for
> Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a
> conclusao eh preservada.
> Este raciocinio esta OK?
> Artur
>  
> 
> 


	
	
		
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