RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

A definicao de Sigma -Algebra de Borel que eu conheco eh de fato a menor sigma-algebra que contem os conjuntos abertos de um espaco toplogico. Eh o que se chama a sigma-algebra gerada pelos conjuntos abertos (ou pelos fechados). Contem os conjuntos abertos e fechados, os G-delta, os F-sigma, etc..Assim, o conceito nao se limita aa reta real, mas eh definidop para qualquer espaco toplogico. Esta eh a a ordagem de  Rudin em Real e Complex Analysis (um livro de fato complicado), que prefere comecar por uma abordagem mais abstrata em espacos topologicos gerais antes de particularizar para os reais e os complexos. .

Varios autores, contrariamente a Rudin, preferem comecar pela reta real. Eh o caso de Bartle, em The Elements of Integration and Lebesgue Theory (acho que eh este o nome do livro)  e tambem o de Royden.

Eu nunca tinha visto  a sigma-algebra de Borel ser definida como aquela gerada pelos conjuntos compactos. Vivendo e aprendendo...

Os livros que conheco (e ainda nao consegui concluir nenhum...) sao os que jah citei do Rudin (nao recomendo comecar por ele), do Bartle (menos abrangente, porem muito claro), o do Royden e o Real Analysis (ou algo assim) de Charambolos D' Aliprantis (se escrevi certo). Hah muits outros.

Bartle e Rudin preferem definir a medida diretamente. Os outros autores que citei preferem a abordagem que comeca pela medida exterior.

Abracos

Artur

 

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[Artur Costa Steiner]  -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de alencar1980
Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 1:36 PM
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Sigma-Algebra Borel

Estou começando a estudar teoria da medida e fiquei confuso em um certo ponto.

 

Nos livros que li a algebra de borel era considerada (definida) apenas para

a reta (números reais) ou um subintervalo da reta; sendo a sigma-algebra de

borel (dos reais ou de um subintervalo dos reais) definida como a menor

sigma algebra que contém os conjuntos abertos.

 

Os livros que consultei não entram em detalhes mas existem diversas possibilidades para os subconjuntos abertos da reta, não?

 

Procurando na internet encontrei a página:

http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html

 

Que fala:

"In mathematics, the Borel algebra (or Borel σ-algebra) on a topological space is either of two σ-algebras;s on a topological space X:

• The minimal σ-algebra containing the open sets.
• The minimal σ-algebra containing the compact sets. "

Achei interessante o site mencionar DUAS possibilidades para a algebra de borel de um espaço topológico. Nos livros que tenho lido não achei nenhuma menção a este fato.

 

Além disso achei interessante a afirmação:

"In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space."

Alguém poderia me indicar algumas referências (ou comentar as referências que o autor do site cita) onde posso encontrar detalhes sobre estas algebras de Borel? Gostaria de entender com mais detalhes este assunto (algebra de borel) no caso em que eu tenho um espaço topológico qualquer e não apenas no caso da reta.

Qualquer ajuda (comentário) será bem vindo.

[]'s

Alencar