[obm-l] Medida Exterior

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Um exemplo de conjuntos que satisfazem ao que foi pedido por um colega eh o seguinte:

 

Em [0,1), definamos a relacao de equivalencia ~ por x ~y se x - y for racional. Entao, ~ particiona [0,1) em classes, sendo que x -y eh racional se x e y pertencerem aa mesma classe e x -y eh irracional se estiverem em classes distintas. Definamos o conjunto P escolhendo-se um unico  elemento de cada classe de equivalencia. (Se recorrermos ao axioma da escolha, isto eh certamente possivel. Como estamos em R, talvez seja possivel formar P sem recorrer ao axioma da escolha.) 

Em [0,1)^2,  definamos a operacao binaria +' , soma modulo 1, por x +' y = x+ y se x+y <1 e x+' y = x+y -1 se x+y <=1. Podemos mostrar que a medida exterior m eh invariante com relacao a translacoes com base na operacao +'.

Seja (r_i) i=0,1,2... uma enumeracao dos racionais de [0,1) com r_0 = 0. Para cada i, definamos a translacao soma modulo 1 de P por P_i = r_i +' P = {p +' r_i | p estah em P} . Entao, m(P_i) = m(P) para todo i. Se P_i e P_j nao forem disjuntos, entao sao coincidentes. De fato, se x estah em P_i inter P_j, entao existem p_i e p_j em P e racionais r_i e r_j em [0,1) tais que  x = p_i +' r_i = p_j +' r_j. A definicao de +' implica que p_i - p_j seja racional, logo p_i ~p_j e p_i e p_j pertencem a uma mesma classe de equivalencia definida por ~. Mas como p_i e p_j estao em P e P contem precisamente um elemento de classe de equivalencia, segue-se que p_i = p_j e que r_i = r_j. Logo P_i e P_j sao o mesmo conjunto e temos i =j.

Concluimos assim que {P_i} eh uma colecao enumeravel de subconjuntos de [0,1) disjuntos  2 a 2. Logo, sua uniao esta em [0,1). Por outro lado, todo x de [0,1) pertence a alguma classe de equivalencia definida por  ~, de modo que x = p + r_i para algum p de P e algum racional r_i. A definicao de +' implica entao que x esteja em P_i, de modo que todo x de [0,1) estah em algum membro de {P_i}. Segue-se portanto que [0,1) = Uniao (P_i) .

Se P for mensuravel, entao todos os P_i tambem o serao e teremos que m([0,1)) = 1-0 = 1 = Soma m(P_i) = Soma (i =0, oo) m(P). Se m(P) = 0, entao o ultimo membro eh nulo e chegamos aa contradicao de que 1 = 0. Se m(P)>0, entao a serie do segundo membro vai para infinito, e concluimos que 1 = oo, outra contradicao. Logo , P nao eh mensuravel.

Vemos assim que a igualdade  m([0,1)) =  Soma m(P_i) nao pode vigorar. A sub-aditividade da medida exterior implica entao que m([0,1)) = 1 < Soma m(P_i) , desigualdade estrita. Temos assim um exemplo conforme pedido pelo colega que postou a mensagem original.

Artur

PS. Obviamente nao fui eu que bolei esta definicao do conjunto P. Ei vi num livro e completei os detalhes