[obm-l] Re: =?Re: [obm-l] =?Provar desigualdade por indu?= ção?=

["saulo bastos" <saulonpb@xxxxxxxxxxx>]

soma dos n numeros naturais:
S1=1+2+3+4+...++n-1+n=n*(n+1)/2
soma dos quadrados:
S2=1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/2
A soma dos cubos pode ser encontrada por:
(a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1
logo:
1^4=1^4
2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1^4
3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1^4
4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1^4
.
.
.

(n-1)^4=(n-2+1)^4=(n-2)^4+4*(n-2)^3+6*(n-2)^2+4*(n-2)+1^4
n^4=(n-1+1)^4=(n-1)^4+4*(n-1)^3+6*(n-1)^2+4*(n-1)+1^4
somando tudo sobra:
n^4=4(1^3+2^3+3^3+4^3+...+(n-1)^3)+6(1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2)
+4(1+2+3+4+...+n-1)+n
fazendo n=n+1
e S3=somatorio dos cubos
S2=somatorio dos quadrados
S1=somatorio dos naturais
(n+1)^4-(n+1)=4S3+6S2+4S1
substituindo as formulas de S2 e S1 encontramos:
S3=S1^2
um abraço, saulo.

>From: fabiodjalma <fabiodjalma@ig.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: =?Re: [obm-l] =?Provar desigualdade por indu?= ção?=
>Date: Sun, 23 Jan 2005 10:47:22 -0200
>
>
>Base: 1^3 = (1)^2
>Por hipótese de indução, consideremos verdade a igualdade para n=k
>1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2
>
>Vamos provar que a relação vale para k+1.
>(1 + 2 + ... + k + (k+1))^2 =
>(1 + 2 + ... + k)^2 + 2.(1 + 2 + ... + k).(k+1) + (k+1)^2
>1^3 + 2^3 + ... + k^3 + 2.(1 + 2 + ... + k).(k+1) + (k+1)^2
>1^3 + 2^3 + ... + k^3 + 2.(k+1)k/2.(k+1) + (k+1)^2
>1^3 + 2^3 + ... + k^3 + k.(k+1)^2 + (k+1)^2
>1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3
>
>Em (08:06:51), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>
>
> >De que maneira vc descobriu essa relação?
> >Por tentativa mesmo?
> >Valeu!
> >Alan
> >
> > --- fabiodjalma escreveu:
> >>
> >> Prove por indução que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 +
> >> 2 + ... + n)^2
> >>
> >> Em (17:18:22), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
> >>
> >>
> >> >Olá a todos os amigos da lista!
> >> >Essa desigualdade é do livro do Apostol e eu não
> >> >consigo demonstrá-la.
> >> >Gostaria que alguém me ajudasse.
> >> >Grato!
> >> >
> >> >1^3 + 2^3+ ... +(n-1)^3 <(n^4)/4 <1^3 + 2^3 + ... +
> >>
> >> >n^3
> >> >
> >> >Como eu posso resolver?
> >> >Obrigado,
> >> >Alan Pellejero
> >> >
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