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Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Oi Victor
Fiz s� algumas, pois s� dei uma olhadela e j� vou mimir...Mas depois eu
venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe.
4) Bem, cada elefante (menos o �ltimo) tem q ter um peso �mpar, pois (o tal
peso)+ 2vezes (pr�ximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1� elefante, as
seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante):
1 tonelada ==> P_2 = 7 ==> P_3 = 4 (n�o pode!)
3 tons ==> P_2 = 6 (n�o pode!)
5 tons ==>P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK)
7 tons ==> P_2 = 4(n�o pode!)
9 tons ==> P_2 = 3 ==> P_3=6 (n�o pode!)
11 tons ==> P_2=2 (n�o pode!)
13 tons ==> P_2=1==> P_3 = 7 ==> P_4 = 4 (n�o pode!)
Logo, s� pode ser a letra (e).
5) 1000A + 888 � cubo perfeito Ent�o, 2^3 (125A + 111) � cubo perfeito.
Logo, 125A + 111 � cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) ==>
125A+111 � (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==>, testando 1, 6, 11, 16,
21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve � o 96. Logo, 125A + 111 =
96^3 ==> A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 ==> o n�mero procurado
� 192 ==> soma dos alfarismos � 12 (letra (b)).
Obs: achei bem contarada essa minha solu��o, deve ter alguma bem mais
inteligente e r�pida, n tem gente?
7) T� achando mto estranha, vejam s�: o n�mero 3 satisfaz (a), (b), (c) e
(e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q n�o � quadrado perfeito . No entanto, p/ a
letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb n�o �
quadrado perfeito, logo, (?????) n�o tem resposta. T� certo isso? Me
repsondam, ok?
9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n +
1 = (n^2 - n - 1)^2, q sooooorte! :-)
13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1
Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+
[[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 +
5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 +
[(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1.
Letra (a).
19) � s� usar a desiguladade de sophie-german!
Desculpe-me por somente ter feito estas.
Bjinhus
Kellem
****************
eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh::::?hehehe, t� bom, vai, vamos a
outro assunto, aff.....
From: "Machado" <vmachado@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM
Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
> Ol� amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas.
> Se algu�m puder ajudar, agrade�o.
>
> 1) Um grupo de 10 atletas � dividido em duas equipes , de 5 atletas
> cada, para disputarem uma corrida r�stica. O atleta que terminar a
> corrida na n-�sima posi��o contribui com n pontos para a sua equipe. A
> equipe que tiver o menos n�mero de pontos � a vencedora. Se n�o
> existem empates entre os atletas , quantos s�o os poss�veis escores
> vencedores ?
>
> a)10 b)13 c)27 d)120 e)126
>
> *******
>
> 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5
> algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos
> de c s�o distintos e que ab = c. Al�m disso, a adi��o de uma unidade a
> cada algarismo de a,b e c n�o altera a veracidade da equa��o.
> O valor da soma a + b + c � ?
>
> *******
>
> 3) A cada um dos v�rtices de um cubo, � atribu�do um dos n�meros +1
> ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro
> resultante do produto dos quatro inteiros que est�o nos v�rtices
> desta face. Um valor poss�vel para a soma destes 14 n�meros � :
>
> a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0
>
> *******
>
> 4) Quinze elefantes alinhados s�o tais que os seus pesos s�o expressos
> por n�meros inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada
> elefante ( exceto o �ltimo ) com o dobro do peso do elefante � sua
> direita, � exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:
>
> a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante � sua direita
> b) existe um elefante que pesa 3 toneladas
> c) existe um elefante que pesa 4 toneladas
> d) existe um elefante que pesa 6 toneladas
> e) todos os elefantes t�m o mesmo peso
>
> *******
>
> 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em
888 � :
>
> a)10 b)12 c)14 d)16 e)18
>
> *******
>
> 6) Se xyz=1 ent�o 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz � igual a ?
>
> *******
>
> 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n � um quadrado perfeito ent�o o valor de "n" :
>
> a)primo b)divisor de 6 c)m�ltiplo de 3 d)m�ltiplo de 5 e)�mpar
>
> OBS : � poss�vel generalizar este problema ?
>
> *******
>
> 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )
> ent�o S � igual a :
>
> a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1
> b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1
> c) 1 - 2^-1/32
> d) 1/2*(1 - 2^-1/32 )
> e) 1/2
>
> *******
>
> 9) Demonstre que o produto de quatro n�meros consecutivos somado a uma
> unidade � um quadrado perfeito. " (n*n+1*n+2*n+3) + 1 "
>
> *******
>
> 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polin�mios e
> mon�mios com coeficientes inteiros possui um n�mero de fatores igual
> a:
>
> a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3
>
> *******
>
> 11) Se 10^k � a maior pot�ncia de 10 que � um fator de 11^10 -1 , ent�o k
vale ?
>
> *******
>
> 12) Se a,b,c s�o n�meros reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 +
> (ab - c^2)^-1 = 0 ent�o a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab -
> c^2)^-2 vale ?
>
> *******
>
> 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os
> inteiros n >= 0, ent�o, para todos os n>= 1, F_n+1 � igual a:
>
> a) F_n + F_n-1
> b) F_n + 2*F_n-1
> c) F_n + 3*F_n-1
> d) F_n + 5^1/2*F_n-1
> e) F_n + 5*F_n-1
>
> *******
>
> 14) Um fator entre 1000 e 5000 do n�mero 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 � :
>
> a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972
>
> *******
>
> 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n � :
>
> a) 1/n+1
> b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n
> c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
> d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1
> e) 1/2n
>
> *******
>
> 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polin�mio
> em "a" verificamos que a soma dos coeficientes deste polin�mio vale ?
>
> *******
>
> 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 +
> 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , ent�o o produto AB vale ?
>
> *******
>
> 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n =
> 0,1,2,3,... . Se R_12345 � inteiro, seu algarismo das unidades � ?
>
> *******
>
> 19) O n�mero [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 +
> 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)]
> vale ?
>
> *******
>
> Desculpem-me pela imensa mensagem,
> Agrade�o desde j� a todos ,
> Muito obrigado,
> Victor.
>
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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