[obm-l] Lista de problemas - AJUDA !

[Machado <vmachado@xxxxxxxxx>]

Olá amigos,  estou precisando de ajuda nos seguintes problemas.
Se alguém puder  ajudar, agradeço.

1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas
cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a
corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A
equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não
existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores
vencedores ?

a)10 b)13 c)27 d)120 e)126

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2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente  2,3 e 5
algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos
de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a
cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação.
O valor da soma a + b + c é ?

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3)  A cada um dos vértices  de um cubo, é atribuído um dos números +1
ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro
resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices 
desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é :

a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0

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4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos
por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada
elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua
direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:

a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita 
b) existe um elefante que pesa 3 toneladas
c) existe um elefante que pesa 4 toneladas
d) existe um elefante que pesa 6 toneladas
e) todos os elefantes têm o mesmo peso

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5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é :

a)10 b)12 c)14 d)16 e)18

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6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz  + 1/1+z+xz é igual a ?

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7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito  então o valor de "n" : 

a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar 

OBS : É possível generalizar este problema ?

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8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )
então S é igual a :

a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1
b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1
c)  1 - 2^-1/32 
d) 1/2*(1 - 2^-1/32 )
e) 1/2

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9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma
unidade é um quadrado perfeito. " (n*n+1*n+2*n+3) + 1 "

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10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e
monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual
a:

a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3

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11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ?

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12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 +
(ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab -
c^2)^-2 vale ?

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13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n +  [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os
inteiros n >= 0, então, para todos os n>= 1, F_n+1 é igual a:

a) F_n + F_n-1 
b) F_n + 2*F_n-1
c) F_n + 3*F_n-1
d) F_n + 5^1/2*F_n-1
e) F_n + 5*F_n-1

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14)  Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é :

a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 

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15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é :

a) 1/n+1
b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n
c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n
d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1
e) 1/2n

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16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio
em "a" verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ?

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17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 +
3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ?

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18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n)  onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2  e n =
0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ?

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19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 +
324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)]
vale ?

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Desculpem-me pela imensa mensagem,
Agradeço desde já a todos ,
Muito obrigado,
Victor.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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