Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 13, 2005 at 12:26:10PM -0300, Demetrio Freitas wrote:
...
> De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar
> enchedo a lista com coisas de interesse menor.

Acho que você não tem nenhum motivo para estar se desculpando.
A sua mensagem está perfeitamente dentro da proposta da lista
e até caiu uma questão parecida na primeira fase da OBM nível U
do ano passado. E há um monte de mensagens off-topic ou pelo
menos de caráter duvidoso.

> Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma
> como eu tinha feito ontem a noite. 

Ótimo!
 
> Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa
> original, só que tomando somas com um número finito de
> termos da série harmonica. 
> 
> Assim, tomando os n primeiros termos:
> 
> 
> S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9
> +3/12... +3/3n
> 
> S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n 
> 
> S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ...
> +2(n-2) -1/(n-1) -1/n +  3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n
> 
> Comparando a sequencia finita S com os n primeiros
> termos da minha série original (infinita) percebi que
> eram iguais exceto pelo erro dado por:
> 
> E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n 

Até aqui está tudo perfeito.
 
> Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo
> 
> Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2)
> 
> Com isso:
> 
> E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) +
> 1/3n

Este primeiro passo precisaria ser justificado:
pq esta aproximação não altera o valor do limite?
Mas veja abaixo.
 
> Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado
> pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma
> da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero
> para x->oo.
> 
> Neste caso posso calcular: 
> E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3)  
> 
> 
> E (n->oo) = log (3)

O primeiro passo é desnecessário. O valor original 
E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n 
é uma soma de Riemann que aproxima a mesma integral que
você considerou. Assim o seu limite é log(3). 

> Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3)
> 
> 
> Claro que não é uma demonstração completa do ponto de
> vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito
> porque acho que está correta e de início eu não sabia
> nem como começar... E posso usar esta para outras
> séries parecidas.

Acho que está correta e quase completa, faltou apenas
dar uma breve explicação para o segundo passo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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