Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Obrigado pela atenção, professor,  e pela resposta
sempre perfeita. 


De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar
enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a
sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma
como eu tinha feito ontem a noite. 

Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa
original, só que tomando somas com um número finito de
termos da série harmonica. 

Assim, tomando os n primeiros termos:


S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9
+3/12... +3/3n

S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n 

S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ...
+2(n-2) -1/(n-1) -1/n +  3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n

Comparando a sequencia finita S com os n primeiros
termos da minha série original (infinita) percebi que
eram iguais exceto pelo erro dado por:

E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n 

Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo

Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2)

Com isso:

E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) +
1/3n

Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado
pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma
da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero
para x->oo.

Neste caso posso calcular: 
E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3)  


E (n->oo) = log (3)

 

Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3)


Claro que não é uma demonstração completa do ponto de
vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito
porque acho que está correta e de início eu não sabia
nem como começar... E posso usar esta para outras
séries parecidas.

[]´s   

Demetrio


 --- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
escreveu: 
> On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio
> Freitas wrote:
> > Achei uma resposta:
> > 
> > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9
> +1/
> > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +.....
> > 
> > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9
> > +3/12... = serie harmonica
> > 
> > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7.... = 1 + 1/2 -
> serie
> > harmonica
> > 
> > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5
> > 
> > Será que isto tá certo?
> 
> Infelizmente não. Você usou implicitamente a
> convergência
> da série harmônica. A resposta correta está abaixo.
> 
> > Estou procurando a soma da seguinte sequencia:
> > 
> > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9
> > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +.....
> 
> Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 +
> ... (Taylor)
> A série converge condicionalmente para o valor certo
> se |z| = 1, z != 1.
> Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos
> f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 +
> 1/6 + ...
> Somando isso com o conjugado temos
> f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 -
> 1/7 - 1/8 + 2/9 -...
> Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que
> você quer é
> S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... =
> 3/2 - log(3) ~= 0.401387711.
> 
> Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos
> no maple: digite
> aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2):
> add(evalf(aa),k=1..100);
> e o maple responde 0.3980801201.
> Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos
> 0.4010546371.
> Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de
> grandeza de k^(-2)
> donde a soma dos n primeiros termos deve estar
> sempre um pouco abaixo
> do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1),
> coerentemente com
> os números encontrados.
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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