Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio Freitas wrote:
> Achei uma resposta:
> 
> s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/
> -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +.....
> 
> s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9
> +3/12... = serie harmonica
> 
> s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7.... = 1 + 1/2 - serie
> harmonica
> 
> s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5
> 
> Será que isto tá certo?

Infelizmente não. Você usou implicitamente a convergência
da série harmônica. A resposta correta está abaixo.

> Estou procurando a soma da seguinte sequencia:
> 
> 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9
> -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +.....

Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + ... (Taylor)
A série converge condicionalmente para o valor certo se |z| = 1, z != 1.
Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos
f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + 1/6 + ...
Somando isso com o conjugado temos
f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - 1/7 - 1/8 + 2/9 -...
Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que você quer é
S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = 3/2 - log(3) ~= 0.401387711.

Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos no maple: digite
aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): add(evalf(aa),k=1..100);
e o maple responde 0.3980801201.
Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos 0.4010546371.
Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de grandeza de k^(-2)
donde a soma dos n primeiros termos deve estar sempre um pouco abaixo
do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), coerentemente com
os números encontrados.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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