Re: [obm-l] Cardinalidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 06, 2005 at 04:09:00PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Se X e Y são infinitos, então |X U Y| = max(|X|,|Y|).
> Eu conheco este teorema, ma nunca vi a demonstracao, gostaria de ve_la. Uma
> vez tentei mas me enrolei. Aceito o axioma da escolha sim (alias, sem ele
> todos aqueles teoremas sobre compaticidade em espacos topologicos
> arbitrarios seriam derrubados, certo? 

O axioma da escolha é necessário até para provar os seguintes fatos.
(1) Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável.
(2) A relação de ordem entre cardinais é uma ordem total.
Ou seja, sim, o mundo sem o axioma da escolha é muito estranho.

Mas voltando a sua pergunta.
Suponha sem perda de generalidade suponha que |X| <= |Y|.
Podemos ainda supor que |X| = |Y| e que X e Y são disjuntos.
É uma conseqüência do axioma da escolha que todo conjunto
admite uma boa ordem. Vamos portanto supor X e Y bem ordenados.
Podemos sem perda de generalidade supor que todo segmento inicial
próprio tem cardinalidade menor que a de X, ou seja,
podemos escrever X = {x0, x1, ..., xa, ...}, Y = {y0, y1, ..., ya, ...},
a < |X| (a é um ordinal). Temos X U Y = {x0, y0, x1, y1, ..., xa, ya, ...}.
Também em XUY todo segmento inicial tem cardinalidade < |X|
e portanto a boa ordem define a bijeção.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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