[obm-l] Re: [obm-l] série de inversos curiosa

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Um probleminha para começar o ano:
>
>Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua
>nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge.

Seja a_n o inverso do n-gesimo inteiro postivo em cuja representacao decimal
nao hah 9. Temos entao que as somas parciais de Soma(a_n))formam uma
sequencia montonicamente crescente. Assim, se atraves da introducao de
parenteses em Soma(a_n) obtivermos uma serie Soma(b_m) que seja convergente,
a serie original convergirah para o mesmo limite.
Agrupemos em parenteses os termos correspondentes aos numeros inteiros
positivos de k>=1 algarismos em cuja representacao decimal nao aparece o 9.
Seja S_k eh a soma dos inversos destes numeros. Se p eh um destes numeros,
entao p dah origem a 9 numeros de k+1 algarismos conforme o desejado, ou
seja, p origina, em ordem crescente, 10p+0, 10p+1, ...10p+8. Logo, a soma
dos inversos dos numeros originados por p eh < 9*(10*p + 0) = (9/10)*p, o
que implica automaticamente que S_(k+1) < (9/10)*S_k. Eh entao facil 
concluir por inducao que, se b_m eh soma dos termos do m_gesimo parentesis,
entao 0 < b_m <= (9/10)^(m-1)*S_1, com igualdade apenas para m=1. Como
Soma((9/10)^(m-1)*S_1) converge, pois eh uma serie geometrica de razao 9/10
<1,  concluimos por comparacao que Soma(b_m) converge. E esta convergindo,
Soma(a_n) converge para o mesmo limite.
O mesmo argumento aplica-se a qualquer inteiro 1,2...9. Para o zero
precisamos modificar um pouco o argumento.
Artur

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