Re: [obm-l] Ajuda...

["saulo bastos" <saulonpb@xxxxxxxxxxx>]

Eu fiz desse jeito, cada parcela da desigualdade são semelhantes, e elas 
podem ser escritas como funções de x da forma:
f(x)= (a^x*C1+1)/(a^x*C2+1)
No caso da 1a parcela da desigualdade
C1=a^2
C2=bc
Achando os pontos críticos da função acima, a derivada é dada por:
f´(x)=a^x(C1-C2)/(a^xC2+1)^2
que igualando a zero e lembrando que a,b,c,x sao positivos e portanto 
diferentes de 0, fornece:
C1=C2
ou seja
a^2=bc
Fazendo isso para cada parcela da desigualdade, encontramos:
b^2=ac
e
c^2=ab
ou seja:
f1(x)>=1
f2(x)>=1
f3(x)>=1
ou
[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^
(x)*b*c)+1]>=1+1+1=3

Um abraço,saulo.

>From: kleinad@webcpd.com
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Ajuda...
>Date: Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +0000
>
>Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que
>
>[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + 
>[c^(x+2)+1]/[(c^
>(x)*b*c)+1]>=3
>
>Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a
>primeira parcela)
>
>a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1].
>
>Para concluir a desigualdade, basta mostrar que
>
>a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) >= 3,
>
>o que é equivalente a mostrar que
>
>a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc >= 0.
>
>Mas observe que
>
>a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)
>
>É claro que (a + b + c) > 0.
>
>Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac >=0, mas não consigo fazer
>isso.
>
>[]s,
>Daniel
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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