Re:[obm-l] Conjunto denso em R

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Bem legal esta prova!

Interessante que com este problema me ocorreu uma prova para um fato que foi
discutido aqui hah uns 3 meses: se uma funca nao constante f for continua
periodica em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh periodica.
Suponhamos, para facilitar, que o periodo de f seja 1 e admitamos que g seja
periodica com periodo fundamental p>0. Para todo inteiro positivo n, temos
que g(raiz(n)) = f(n) = f(0). Para todo inteiro m, temos entao que g(raiz(n)
+ m*p) = g(raiz(n)) = g(0). Como o conjunto {raiz(n) + m*p} eh denso em R e
g eh continua, concluimos que g(x+ = g(0) para todo real x, de modo que g eh
constante. Logo, f tambem eh constante, contraiamente aa hipotese.
Se o periodo de f for t<>1, entao f(T*x) tem periodo 1, e como T eh
arbitrario, chegamos aa mesma conclusao.

Artur    

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re:[obm-l] Conjunto denso em R
Data: 28/12/04 16:05



De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200

Assunto:[obm-l] Conjunto denso em R

  

> Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p<>0,
o
> conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
> Artur
> 
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido
aqui na lista.

Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte
fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas
que nao me parece tao absurdo assim.

Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) -> 0 quando n -> infinito

Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].

Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} -> 1 quando n -> infinito.

Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} -> 0 quando n -> infinito.

Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.

Um pouco de reflexao e esforco mental (no banheiro) me fez pensar na
sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) -> a quando n -> infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n

Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao
inteiros positivos e p <= q.

Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um
multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} ->  p/q  quando n -> infinito.

Ou seja, todo racional de [0,1] eh valor de aderencia de {raiz(n)}.

Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu
interior, algum racional e que este racional eh limite de alguma
subsequencia de {raiz(n)}. Logo, I conterah todos os termos desta
subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh
densa em [0,1]. 

***

Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original
proposto pelo Artur.

[]s,
Claudio.

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