Re: [obm-l] desigualdade ma >= mg generalizada

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
<peterdirichlet2003@yahoo.com.br> wrote:

> Se voce nao usou nada que seja parecudo com as
> Desigualdades de Jensen, eu quero ver...
> 
> Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram
> escritas?
> 

Desta desigualdade generalizada eu ainda nao tinha
visto nenhuma prova, mas certamente existem varias.
Pela desigualdade de Jensen deve dar para sair, mas eu
dei uma outra demonstracao baseada nas propriedades da
funcao exponencial, muito semelhante a uma que mostra
que ma >= mg.  

Sejam entao x_1,...x_n e p_1,....p_n numeros 
positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) a
media aritmetica ponderada dos x_i's com relacao aos
p_i's e g =
=(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)) a
respectiva media geometrica ponderada.
Temos entao que a e g sao positivos. Para cada
i=1,...n, seja r_i o desvio relativo de x_i com
relacao a a, ou seja, a = (x_i - a)/a = x_i/a -1.
Verificamos entao facilmente que Soma(i=1,n) p_i*r_i =
0. 
Pelas propriedades da funcao exponencial, para cada
r_i
temos que e^(r_i) >= 1+ r_i, havendo igualdade sse r_i
= 0. Da definicao de r_i, segue-se que e^(r_i) >=
x_i/a, havendo igualdade sse x_i =a. Temos entao que
e^(p_i*r_i) = (e^(r_i))^p_i >= (x_i/a)^p_i, com
igualdade sse x_i =a.
Multiplicando-se membro a membro a n desigualdades
obtidas variando-se i de 1 a n e observando que todos
os numeros emvolvidos sao positivos, concluimos que
Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) >=
Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i). Em virtude do que vimos,
hah igualdade sse x_1 =...x_n =a.
Pelas propriedades da funcao exponencial, temos no 1o
membro que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) =
e^(Somai=1,n)(p_i*r_i)) = e^0 = 1. No segundo membro,
temos que 
Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i) =
(Produto(i=1,n)((x_i^p_i))/(a^(Soma(i=1,n))p_i))) =
(g^(Soma(i=1,n))p_i)))/a^(Soma(i=1,n))p_i))) =
(g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)).
Concluimos assim que 1 >=  g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)), o
que significa simplesmente que a >= g. Conforme vimos,
a igualdade ocorre sse x_1 = ....x_n.
Abracos
Artur


		
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