Re: [obm-l] desigualdade ma >= mg generalizada

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Se voce nao usou nada que seja parecudo com as
Desigualdades de Jensen, eu quero ver...

Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram
escritas?

 --- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br>
escreveu: 

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Oi a todos
Um fato interessante nao muito divulgado eh que a
desg. dasmedias aritmetica e geometrica pode ser
generalizada para medias ponderadasquando os numeros e
pesos sao positivos (ou, se preferirem, pode-se
dizerque a desigualdade das m. aritmetica e geometrica
eh um caso particular dasponderadas).

Se x_1,...x_n e p_1,....p_n sao positivos, a
=(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i)  e g
=(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)),
entao a>=g, havendoigualdade se, e somente se,
x_1=.....x_n.

Eu comecei tentando fazeruma generalizacao baseada na
desigualdade ma >= mg.  Se os p_i foremtodos inteiros,
entao a e g sao as  medias aritmetica e geometrica
doconjunto obtido quando cada x_i eh tomado p_i vezes.
Logo, neste caso valeque a>=g com igualdade sse os x_i
forem iguais.
Se os p_i forem todosracionais, entao, considerando
cada p_i como a relacao entre dois inteirospositivos,
vemos facilmente que a e g  igualam-se a medias
aritmeticase geometricas ponderadas nas quais os pesos
sao inteiros positivos,caindo-se portanto no caso
anterior.  Assim, tambem no casoracional vale a
desigualdade procurada.
Se os p_i foremreais positivos quaisquer, entao, para
x_1, ...x_n fixos,as funcoes (p_1,....p_n_ ->
a(p_1,...p_n) e  (p_1,....p_n_-> g(p_1,...p_n) sao
continuas no subespaco de R^n formado pelospontos com
coordenadas positivas.  Se os x_i nao forem
todosidenticos, entao no subconjunto do R^n formado
pelos pontos comcoordenadas racionais e positivas
temos a(p_1,...p_n) >g (p_1,....p_n).Como este ultimo
conjunto eh denso no primeiro, temosque  a(p_1,...p_n)
>=g (p_1,....p_n) em todo o R^n comcorrdenadas
positivas. Isto prova a desigualdade mas nao prova que
aigualdade ocorre sse x_1 =....x_n.  Por este caminho
naoconsegui completar a prova.
Consegui, entrtanto, uma prova completa, semsupor
conhecida a desigualdade ma >= mg, baseada nas
propriedades dafuncao exponencial.
 Abracos
Artur

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