[obm-l] desigualdade ma >= mg generalizada

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi a todos
Um fato interessante nao muito divulgado eh que a desg. das
medias aritmetica e geometrica pode ser generalizada para medias ponderadas
quando os numeros e pesos sao positivos (ou, se preferirem, pode-se dizer
que a desigualdade das m. aritmetica e geometrica eh um caso particular das
ponderadas).

Se x_1,...x_n e p_1,....p_n sao positivos, a =
(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i)  e g =
(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)), entao a>=g, havendo
igualdade se, e somente se, x_1=.....x_n.

Eu comecei tentando fazer
uma generalizacao baseada na desigualdade ma >= mg.  Se os p_i forem
todos inteiros, entao a e g sao as  medias aritmetica e geometrica do
conjunto obtido quando cada x_i eh tomado p_i vezes. Logo, neste caso vale
que a>=g com igualdade sse os x_i forem iguais.
Se os p_i forem todos
racionais, entao, considerando cada p_i como a relacao entre dois inteiros
positivos, vemos facilmente que a e g  igualam-se a medias aritmeticas
e geometricas ponderadas nas quais os pesos sao inteiros positivos,
caindo-se portanto no caso anterior.  Assim, tambem no caso
racional vale a desigualdade procurada.
Se os p_i forem
reais positivos quaisquer, entao, para x_1, ...x_n fixos,
as funcoes (p_1,....p_n_ -> a(p_1,...p_n) e  (p_1,....p_n_
-> g(p_1,...p_n) sao continuas no subespaco de R^n formado pelos
pontos com coordenadas positivas.  Se os x_i nao forem todos
identicos, entao no subconjunto do R^n formado pelos pontos com
coordenadas racionais e positivas temos a(p_1,...p_n) >g (p_1,....p_n).
Como este ultimo conjunto eh denso no primeiro, temos
que  a(p_1,...p_n) >=g (p_1,....p_n) em todo o R^n com
corrdenadas positivas. Isto prova a desigualdade mas nao prova que a
igualdade ocorre sse x_1 =....x_n.  Por este caminho nao
consegui completar a prova.
Consegui, entrtanto, uma prova completa, sem
supor conhecida a desigualdade ma >= mg, baseada nas propriedades da
funcao exponencial.
 Abracos
Artur

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