Re: [obm-l] x^2=2^x - Como Resolver?

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Incrivel, que coincidencia ... eu estava justamente estudando a 
generalizacao de um teorema quando chegou a mensagem do Prof Nicolau, 
abaixo. O Teorema ao qual o Prof se refere e chamado TEOREMA DE GELFOND ou 
TEOREMA DE GELFOND-SCHNEIDER. Trata-se de um Teorema que pode ser visto como 
a solucao a um dos famosos PROBLEMAS DE HILBERT.

A demonstracao nao e facil, mas o enunciado e simples :

Se "a" e um numero algebrico diferente de zero e um e se "b" e irracional 
entao "a^b" e transcendente"

Como consequencia, claramente que r^r e transcendente ( logo, irracional ) 
se r=sqrt(2). E digno de nota que sabemos muito pouco sobre os numeros 
transcendentes e que o teorema de Gelfond-Schneider foi generalizado pelo 
Prof Alan Baker, de Cambridge, com um paper celebrado e que lhe valeu a 
Medalha Fields em 1970 ( acho que o ano foi esse, mas nao tenho certeza ).

Este Prof tem um livro excelente, que eu recomendo :

Trancendental Numbers
Baker, A
Cambridge Press

Agora, suponha "r" como definimos acima. O numero (r^r)^sqrt(2) e 
transcendente ? Vale a pena ler o livro que citei ...

E que todos tenham um feliz natal !
Paulo Santa Rita
7,1943,111204

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] x^2=2^x - Como Resolver?
>Date: Sat, 11 Dec 2004 10:45:11 -0200
>On Fri, Dec 10, 2004 at 07:44:55PM -0200, ZopTiger wrote:
> > Olá caros amigos,
> > sobre a resolução de:
> >
> >
> > 2^x = x^2
> >
> > podemos encontrar 3 raízes através dos interceptos dos gráficos de 
>f(x)=2^x
> > e f(x)=x^2, mas como fazer esses cálculos manualmente?
> > principalmente a raíz negativa, pois as raízes positivas dá, com ajudas 
>de
> > logarítimos e indução, para encontrar, porque elas são inteiras, pois se
> > fosse fracionárias ficaria muito mais complicado (ou impossível) 
>encontrar
> > por indução.
> > Alguém sabe demonstrar???
>
>A raiz negativa é, segundo o maple, aproximadamente
>
>-0.766664695962123093111204422510314848006675346669832058460884376935552795
>
>Este número x quase certamente não pode ser escrito de nenhuma maneira
>mais bonitinha do que "a raiz negativa de 2^x = x^2".
>Eu sei provar que ele não é algébrico.
>
>O número x é claramente não inteiro.
>Se ele fosse racional não inteiro (x = a/b) então 2^x seria irracional:
>2^(a/b) = c/d implicaria 2^a * d^b = c^b contradiz
>o teorema fundamental da aritmética;
>como (a/b)^2 é racional, temos um absurdo.
>Assim, x é irracional.
>Há um teorema bem mais difícil que diz que 2^x não é algébrico se x
>é algébrico irracional. Assim, x também não é algébrico.
>
>[]s, N.

_________________________________________________________________
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================