Re: [obm-l] x^2=2^x - Como Resolver?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Dec 10, 2004 at 07:44:55PM -0200, ZopTiger wrote:
> Olá caros amigos,
> sobre a resolução de:
> 
> 
> 2^x = x^2
> 
> podemos encontrar 3 raízes através dos interceptos dos gráficos de f(x)=2^x
> e f(x)=x^2, mas como fazer esses cálculos manualmente?
> principalmente a raíz negativa, pois as raízes positivas dá, com ajudas de
> logarítimos e indução, para encontrar, porque elas são inteiras, pois se
> fosse fracionárias ficaria muito mais complicado (ou impossível) encontrar
> por indução.
> Alguém sabe demonstrar???

A raiz negativa é, segundo o maple, aproximadamente

-0.766664695962123093111204422510314848006675346669832058460884376935552795

Este número x quase certamente não pode ser escrito de nenhuma maneira
mais bonitinha do que "a raiz negativa de 2^x = x^2".
Eu sei provar que ele não é algébrico.

O número x é claramente não inteiro.
Se ele fosse racional não inteiro (x = a/b) então 2^x seria irracional:
2^(a/b) = c/d implicaria 2^a * d^b = c^b contradiz
o teorema fundamental da aritmética;
como (a/b)^2 é racional, temos um absurdo.
Assim, x é irracional.
Há um teorema bem mais difícil que diz que 2^x não é algébrico se x
é algébrico irracional. Assim, x também não é algébrico.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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