Re: En: [obm-l] polinomio...completa!!!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.12.04 00:12, vinicius at viniciusmeirelesa@bol.com.br wrote:

> 
>> --------- Mensagem Original --------
>> De: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Assunto: [obm-l] polinomio...
>> Data: 09/12/04 02:24
>> 
>> 
>> Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver:
>> 
>> Para quais valores de "a" de "n" o polinomio:
>> x^n - ax^(n-1) + ax - 1
> 
> é divisivel por (x-1)^2
>> 
>> tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..?
>> 
Infelizmente (ou felizmente) o uso de derivadas e, em geral, de matematica
"universitaria", simplifica muito a solucao de varios problemas de nivel
medio. Se voce nao quiser usar estes recursos, normalmente vai ter que
recorrer a alguma solucao "macetosa", envolvendo alguma fatoracao menos
obvia.

Por exemplo, no caso acima deve ser, obviamente, n >= 2.
Se n = 2, entao p(x) = x^2 - 1, o qual nao eh divisivel por (x-1)^2.
Logo, podemos supor n >= 3.

Vamos re-escrever o polinomio como:
(x^n - 1) - a(x^(n-1) - x) =
(x - 1)(x^(n-1) + ... + x + 1) - a(x - 1)(x^(n-2) + ... + x^2 + x) =
(x - 1)(x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x))

Nesse caso, x - 1 deve dividir x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) ==>
1 eh raiz de x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) ==>
2 + (1 - a)(n - 2) = 0 ==>
a = n/(n-2)

Logo, os valores de a e n sao dados pelos pares:
(n,a) com a = n/(n-2) e n >= 3.

***

Em suma, acho melhor voce aprender o que eh derivada de um polinomio
(conceito que, alias, pode ser totalmente desenvolvido sem que se use a
palavra "limite", a qual parece ser a maior fonte de dificuldade pra maioria
das pessoas) e a relacao entre raizes multiplas e derivadas.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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