Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Paulo Santa Rita (p_ssr@hotmail.com) escreveu:
>
>Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1,
>..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo
>associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }.
>Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :
>
><ai,bj>= 0 se i # j ( "#" significa "e diferente de" )
><ai,bj>=Ri se i=j

Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ...,
a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente
independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois
queremos determinar uma base.

Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = {
a_1, ..., a_n }.

b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n

Como <b_i, b_j> = c_i1<a_1, a_j> + ... + c_in<a_n, a_j> = d_ij*R_i (onde
d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i
variando de 1 até n:

c_i1<a_1, a_1> + ... + c_in<a_n, a_1> = 0
...
c_ii<a_1, a_i> + ... + c_in<a_n, a_i> = R_i
...
c_in<a_1, a_n> + ... + c_in<a_n, a_n> = 0

Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja <a_i, a_j>, ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.

Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então

t_1*<a_1, a_j> + ... + t_n*<a_n, a_j> = 0 para todo j

==> < t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j > = 0 para todo j

==> t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n
seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo.

Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo
encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto
desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores,
basta mostrar que é linearmente independente:

s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0

==> <s_1*b_1 + ... + s_n*b_n, a_i> = 0 para todo i
==> s_i*<b_i, a_i> = 0 para todo i
==> s_i*R_i = 0 para todo i
==> s_1 = s_2 = ... = s_n = 0

Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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