Re: [obm-l] Teoria dos anéis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.11.04 21:14, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Estes dois problemas estão me fazendo perder o sono:
> 
> 1) Seja R um anel tal que os únicos ideais à direita de R sejam 0 e R.
> Demonstrar que R é um anel com divisão ou R é um anel com um número primo de
> elementos no qual ab = 0 para todos a,b em R.
> 
Seja S = conjunto de todas as somas finitas da forma:
a_1*b_1 + a_2*b_2 + ... + a_n*b_n, onde os a_i e b_i pertencem a R.
Eh facil ver que S eh um ideal de R.

Logo, S = {0} ou S = R.

Se S = {0}, entao a*b = 0 para quaisquer a, b em R.
Seja (H,+) um subgrupo do grupo aditivo (R,+).
Com esta definicao de *, (H,+,*) serah um ideal de R.
Logo, H = R ou H = {0} ==>
(H,+) eh um subgrupo trivial de (R,+) ==>
(R,+) eh um grupo ciclico de ordem prima ==>
(R,+,*) eh um anel com um numero primo de elementos e tal que a*b = 0 para
quaisquer a, b em R.

Se S = R, basta provar que R contem 1 e usar a sua demonstracao de que,
nesse caso, R eh um anel com divisao. Mas ainda nao consegui provar isso.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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