Re: [obm-l] Teoria dos anéis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.11.04 21:14, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:
> 
> 2) Seja R o anel de todas as funções contínuas, com valores reais, definidas
> sobre o intervalo unitário fechado (0<=x<=1). Se M é um ideal maximal de R,
> demonstrar que existe um número real t, 0<=t<=1, tal que M = (f(x) em R : f
> (t) = 0 )
> 
Seja M um ideal maximal de R.
Suponhamos que, para cada t em [0,1] exista F_t em M tal que F_t(t) <> 0.
Como F_t eh continua, vai existir um intervalo aberto I_t centrado em t e
tal que F_t(x) <> 0 para cada x em I_t.
Obviamente, UNIAO(t em [0,1]) I_t contem [0,1], ou seja, os I_t formam uma
cobertura aberta de [0,1].
Como [0,1] eh compacto, esta cobertura aberta contem uma subcobertura
finita: I_t1 uniao I_t2 uniao ... uniao I_tn.
Seja G a funcao real definida em [0,1] dada por:
G(x) = (F_t1(x))^2 + (F_t2(x))^2 + ... +(F_tn(x))^2.
Eh claro que G pertence a R e que G(x) > 0 para todo x em [0,1].
Logo, a funcao real H definida em [0,1] e dada por H(x) = 1/G(x) pertence a
R e, portanto, H*G = funcao constante e igual a 1 pertence a M ==>
M = R ==>
contradicao, pois M eh um ideal maximal de R e, portanto, estah propriamente
contido em R ==>
existe t em [0,1] tal que f(x) = 0 para toda f em M.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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