Re: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]

["Eduardo Wagner" <wagner@xxxxxxx>]

Declaro resolvida a questao do quadrilatero inscritivel.
Para os que nao conhecem, Luiz Lopes eh um expert em construcoes
geometricas. Ele eh um excelente matematico e publicou varios livros
sobre diversos assuntos. Um deles se chama
"Manual de construcao de Triangulos" que eh uma verdadeira
preciosidade.
Vai ser dificil achar um livro sobre o assunto que ele ainda
nao tenha, mas vou procurar descobrir.
Abracos,
Wagner.


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>From: Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com>
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]
>Date: Tue, Nov 9, 2004, 6:41 PM
>

> Sauda,c~oes,
>
> Oi Claudio,
>
> ===
>>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
>>Wagner.
> ===
> Poderia ser o caso se não tivesse enviado a solução de
> Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, 1952.
>
> Talvez esse problema esteja no FG-M também. Não olhei.
>
> As primeiras tentativas de solução da lista para este problema
> baseavam-se na construção de elementos obtidos algebricamente
> (diagonais e circumraio, se me lembro bem).
> Pergunto: tendo-se mostrado que o problema tem uma solução
> algébrica, será que SEMPRE podemos obter uma solução
> geométrica? Penso que sim, depois de ver soluções
> geométricas para muitos problemas onde achava que só a
> solução bruta algébrica seria possível.
>
> Proponho então dois problemas para os quais tenho somente
> sols. algébricas. Será que existiriam sols. geom. também???
>
> Construir o triângulo ABC dados:
>
> 1) A, m_a, r
> 2) A, m_a, r_a
>
> A=ângulo, m_a = mediana que parte de A; r (in-raio) r_a (ex-raio).
>
> Amanhã proponho mais um de quadrilátero.
>
> []'s
> Luis
>
>
>>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
>>Date: Tue, 09 Nov 2004 17:36:58 -0200
>>
>>on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at qed_texte@hotmail.com wrote:
>> >
>> > Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta
>> > simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC.
>> >
>> > Lema: a reta m contém um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD
>>.
>> > O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é cíclico.
>> >
>>Agora faz sentido!
>>
>> > Dos triângulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC .
>> >
>> > Assim, se ABCD é cíclico, o ponto O está no lado BC; e somente nesse
>>caso,
>> > pois, reciprocamente, se O está em BC então ABCD é cíclico.
>> >
>> > Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico.
>> >
>> > Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d.
>> >
>>Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes.
>>
>> > Daí a const. que segue:
>> >
>> > 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d
>> > (com B entre O e > C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d.
>> >
>> > 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio
>> > considerando os pontos O e C.
>> >
>>Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d.
>>
>>Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto
>>de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D.
>>
>>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
>>Wagner.
>>
>>[]s,
>>Claudio.
>>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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