Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.11.04 20:09, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Voltando um pouco ao problema original. Tinhamos que f era continua e
> periodica em R com periodo fundamental p>0, o que implica automaticamente
> que f nao seja constante. A afirmacao era que, se g(x) = f(x^2) for
> periodica (assumindo que esta g exista, o que eu decididamente nao sei),
> entao f(2raiz(p)) = f(0). Eu cheguei a um resultado mais geral, embora
> atraves de um processo um tanto estranho.
> Sabemos que se uma funcao for continua e periodica em R, entao esta funcao
> eh uniformemente continua; sabemos tambem que composicoes de funcoes
> continuas sao continuas. Logo, g eh continua em R, o que implica, pelo fato
> de ser periodica, que eh uniform. continua. Isto acarreta que, se u_n e v_n
> sao sequencias em R tais que (u_n - v_n) ->0, entao (g(u_n) - g(v_n)) -> 0.
> Para k inteiro positivo, definamos u_n = raiz(k*n*p) + 1/raiz(n) e v_n =
> raiz(k*n*p). Entao, u_n - v_n = 1/raiz(n) -> 0. Para todo n, g(u_n) =
> f(u_n^2) = f(k*n*p + 2raiz(k*p) + 1/n) = f(2raiz(k*p) + 1/n), pois k*n*p eh
> sempre multiplo inteiro de p. Temos que (2raiz(k*p) + 1/n) -> 2raiz(k*p), e
> como f eh continua, segue-se que g(u_n) = f(2raiz(k*p) + 1/n) ->
> f(2raiz(k*p).
> Por outro lado, temos que g(v_n) = f(v_n^2) = f(k*n*p) = = f(p) = f(0). Mas
> como g eh continua eh periodica, logo uniform. continua, temos
> necessariamente que g(u_n) - g(v(n)) -> 0, o que implica, dado que estas
> duas seqs. convergem, que
> g(2raiz(k*p)) = g(0), igualdade valida para todo inteiro positivo k. Isto
> representa alguma contradicao?
> Artur
> 
Nao ha contradicao. Voce provou que se g existe entao g(2*raiz(k*p)) = g(0).
O fato de g nao existir nao invalida o seu argumento, pois cada passo
decorre logicamente do anterior (pelo menos eu nao vi nenhum erro).
Alem disso, se g nao existir (o que eu acredito ter provado), o resultado
serah automaticamente verdadeiro, pois qualquer sentenca condicional (ou
seja, do tipo p ==> q) com antecedente falso eh verdadeira.

Por exemplo, os matematicos conhecem varios teoremas do tipo:
"se a hipotese de Riemann eh verdadeira, entao ..."
ou
"se existe algum numero perfeito impar, entao ..."
os quais sao perfeitamente validos, apesar de nao se saber se a hipotese de
Riemann eh verdadeira ou se realmente existe algum numero perfeito impar.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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