Re: [obm-l] funcao periodica

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Voltando um pouco ao problema original. Tinhamos que f era continua e
periodica em R com periodo fundamental p>0, o que implica automaticamente
que f nao seja constante. A afirmacao era que, se g(x) = f(x^2) for
periodica (assumindo que esta g exista, o que eu decididamente nao sei),
entao f(2raiz(p)) = f(0). Eu cheguei a um resultado mais geral, embora
atraves de um processo um tanto estranho.
Sabemos que se uma funcao for continua e periodica em R, entao esta funcao
eh uniformemente continua; sabemos tambem que composicoes de funcoes
continuas sao continuas. Logo, g eh continua em R, o que implica, pelo fato
de ser periodica, que eh uniform. continua. Isto acarreta que, se u_n e v_n
sao sequencias em R tais que (u_n - v_n) ->0, entao (g(u_n) - g(v_n)) -> 0. 
Para k inteiro positivo, definamos u_n = raiz(k*n*p) + 1/raiz(n) e v_n =
raiz(k*n*p). Entao, u_n - v_n = 1/raiz(n) -> 0. Para todo n, g(u_n) =
f(u_n^2) = f(k*n*p + 2raiz(k*p) + 1/n) = f(2raiz(k*p) + 1/n), pois k*n*p eh
sempre multiplo inteiro de p. Temos que (2raiz(k*p) + 1/n) -> 2raiz(k*p), e
como f eh continua, segue-se que g(u_n) = f(2raiz(k*p) + 1/n) ->
f(2raiz(k*p).
Por outro lado, temos que g(v_n) = f(v_n^2) = f(k*n*p) = = f(p) = f(0). Mas
como g eh continua eh periodica, logo uniform. continua, temos
necessariamente que g(u_n) - g(v(n)) -> 0, o que implica, dado que estas
duas seqs. convergem, que 
f(2raiz(k*p)) = f(0), igualdade valida para todo inteiro positivo k. Isto
representa alguma contradicao?
Artur

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