[obm-l] Inferencia: Lehmann-Scheffe

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

	Estou engatinhando e preciso de ajuda em problema que sei que um dia 
vou achar babaca. Aí vai:

"X[1], ... X[n] dado u, são condicionalmente i.i.d
com X[1]|u ~ Geometrica(u).
Obtenha, se possivel, um Estimador não viciado de variancia 
uniformemente minima (ENVVUM) para u."

	Bom pelo que eu sei, o Teorema de Lehmann-Scheffé diz que se eu achar 
uma estatistica T suficiente e completa e S um estimador não viciado de 
u, então û = E(S|T) é o ENVVUM para u. Sendo assim, fui em busca de uma 
estatistica suficiente T para u. Utilizei o criterio da fatoração de 
Neyman e achei T = Somatoria[i = 1 , n] X[i]. Provei que T é completa 
usando o seguinte argumento:
	E[g(T)] = Somatorio[t = 0, n]g(t)P(T=t)
                 = Somatorio[t = 0, n]g(t)*Comb(n+t-1,t)*u^(n)*(1-u)^t
	como n >= t, seja t = n - y e assim

= Somatorio[t = 0,n]g(t)*Comb(n+t-1,t)*u^(t+y)*(1-u)^t = 0, para todo u, 
  se e somente se
Somatorio[t = 0, n]g(t)*Comb(n+t-1,t)*r^t = 0, para todo r, onde r = 
u(1-u). Temos um polinomio em r de grau n, logo g(t) = 0, qualquer que 
seja x. Assim de fato T é completa.

Agora que estao as duvidas:
- O que eu fiz acima esta certinho?

- A média amostral é sempre uma um estimador nao viciado, nao importando 
a distribuicao?

-Em um problema correlato (onde X[1],...X[n] c.i.i.d ~Poisson(u)), vi 
que ele terminou assim a resolucao:" Como T = Somatorio X[i] é uma 
estatistica  suficiente e completa, Xbarra é um estimador nao viciado de 
u e é funcao de T, é o ENVVUM." Entao assumindo que Xbarra tb é nao 
viciado para uma geometrica ele tb é o ENVVUM para o problema que eu 
enunciei originalmente? Por que bastou ver que Xbarra é funcao de T ao 
inves de calcular E(Xbarra|T) como manda o teorema de Lehmann-Scheffé?

Bom sao essas as minhas duvidas. Agradeco qualquer ajuda, mesmo que parcial!

Niski.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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