Re: [obm-l] problemas envolvendo e

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Com relacao ao segundo, eh facil mostrar (inducao finita, Lagrange) que,
para um dado inteiro r>=1, o produto eh maximo quando x_1 = ...x_r = A/r.
Neste caso, o produto maximo eh p(r) = A(/r)^r.
Consideremos a funcao p definida em (0, oo) por p(x) = (A/x)^x.
Diferenciando e fazendo algumas simplificacoes chegamos a que p'(x) =
(A/x)*[Ln(A/x) - 1]. Entao, constamos que p eh crescente em (0, A/e) e
decrescente m (A/e, oo),tendo portanto um maximo global em x_m = A/e. Mas
como o r ideal, r_m, procurado tem que ser inteiro, teremos, dependendo de
A, que r_m = piso(A/e) ou piso(A/e)) +1, sendo piso(A/e) o maior inteiro <=
A/e. 
Um problema que parece interessante é achar até que valor de A temos r_m =
piso(A/e), passando-se entao a r_m = piso(A/e)+1. Parece que este valor
existe e estah em torno de 10, mas observei isto empiricamente fazendo uns
rapidos calculos
Artur.   


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] problemas envolvendo e
Data: 22/10/04 19:30

Esse problema de determinar se e^pi eh maior ou menor do que pi^e me fez
lembrar de alguns outros que ateh jah apareceram na lista ha tempos, mas
como recordar eh viver, aqui vao:

1) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y >
y^x.

2) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
x_1 + x_2 + ... + x_r = A
de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
(ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)

3) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
a(1) = x > 0
a(n+1) = x^a(n) para n >= 1.
Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.

[]s,
Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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